Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
независимостью распределений элементов матрицы. Если это так, то мы
вправе ожидать, что сходимость того же вида имеет место и в более общей
обстановке.
7.5.4. Рассмотрим дробно-линейное преобразование
1/(а - лс), -1 <; jc <; 1, с точки зрения разд. 7.3. Для параметра а
задается распределение вероятностей на множестве |ct|> 1. Так как
1________1 Г| | Xi - х2 |
а - xt а-х2 I (| а \ - I)2 '
то можно выбрать величину Q (а) = 1/([а | - I)2 и потребовать, чтобы Eq
(а) < 1. Это, конечно, справедливо, если j а | > 2 с вероятностью
единица.
Настоящая ситуация не соответствует в точности теореме 7.3.2 (здесь Z не
является банаховым пространством), но можно показать с помощью
рассуждения, аналогичного проведенному в разд. 7.3, что можно образовать
сходящуюся непрерывную дробь
1
Уп -- 1 )
ап-1
где а независимы и имеют одинаковое распределение. Схо-димость в
указанном частном случае может быть установлена непосредственно с помощью
теоремы Ворпицкого из общей теории непрерывных дробей (см. замечания
7.5.4).
224
Гл. 7. Стохастические алгебры
Для уп имеем рекуррентную формулу
1
Уп+1 j >
которую можно использовать для того, чтобы выписать интегральное
уравнение для функции распределения у.
Важным случаем, приводящим нас к случайным непрерывным дробям, является
разностное уравнение второго порядка
2'г/Л1 ^п^п ~'Г Zn~l 0,
где ап, Ьп - случайные величины с распределениями, не зависящими от в и
такими, что (ап, Ьп) не зависит от (ат, Ьт), если тф п. Разделив на zn,
получим, полагая Уп = i Zn-l,
ba
уп+1 = -an - -f~,
Уп
что дает нам разложение в непрерывную дробь для yn+i.
Более существен следующий пример. Пусть X состоит из действительных k х
^-матриц, рассматриваемых как линейные операторы в Rh с обычной нормой ||
х ||. Предположим, что вероятностная мера определена на X так, что Е || х
|| = с -< 1. Введем случайные элементы
Уп ~ Хп Ч- ХПХп-1 "Ь XnXn-iXn-2 -j~ , . . =
= хп {б + xn~i [е -|- xn-i (е - h • • ¦ )Н- • • •} •
Сходимость этого выражения следует из рассуждений разд. 7.3. Имеем,
очевидно,
Уп+1 %П+1 Уп - Xn+i,
что представляет собой линейное разностное уравнение первого порядка со
случайными коэффициентами xn+i и случайными возмущениями в правой части.
Случайные уравнения и процессы такого типа (принимающие значения из
банаховой алгебры), могут оказаться очень полезными во многих
приложениях. Это легко модифицировать для более общих случаев.
7.5. Примеры
225
Проблема, которой много занимались (см. замечания 7.5.4), связана со
случайными интегральными уравнениями, например фредгольмовского типа.
Здесь случайность присутствует в ядре уравнения, в заданной функции для
неоднородного уравнения или в области интегрирования. Аналогично дело
обстоит и для других стохастических линейных операторов. Часто можно
доказать существование случайных решений. Значительно более трудно, по-
видимому, определить распределение вероятностей решения или даже найти
его моменты. До сих пор это сделано только для очень частных случаев, и
эта задача, без сомнения, привлечет большое внимание в будущей работе.
ОБЗОР
Теория вероятностей на алгебраических структурах несомненно имеет
практическое значение уже в ее теперешней форме и может оказаться
привлекательной для некоторых математиков. Многие известные результаты
находятся в процессе кристаллизации в общую теорию. Но нельзя скрывать
того, что в настоящее время в этой теории много пробелов и, к сожалению,
некоторые из этих пробелов приводят к серьезным трудностям, когда дело
доходит до приложений. Объясним это подробнее.
Но сначала рассмотрим несколько меиее серьезные (по мнению автора)
недостатки теории. Мы не пытались изложить теорию в наиболее общем виде
или дать необходимые и достаточные условия и т. д. Мы не делали этого
даже тогда, когда это можно было сделать с помощью уже установленных
результатов и тем более тогда, когда это требовало серьезных усилий.
Возьмем, например, сепарабельность рассматриваемых групп. Можно было бы,
конечно, развивать анализ Фурье распределений вероятностей на компактной
группе, не постулируя второй аксиомы счетности. Сепарабельность банаховых
пространств X и X* также может оказаться несущественной для результатов,
подобных тем, которые были изучены. Можно было бы попытаться заменить
измеримость по Борелю более общим понятием. Возможно, что некоторые
утверждения, сделанные относительно стохастических групп, имеют место и
без предположения локальной компактности, но здесь мы можем встретиться с
препятствием, которое преодолеть труднее. Проблемы подобного рода,
конечно, заслуживают внимания тех математиков, которым они по душе.
Конечно, было бы приятно иметь подход к анализу Фурье распределений
вероятностей на очень общих алгебраических
Обзор
227
и топологических структурах, включающих все те структуры, которые были
изучены и, возможно, некоторые другие. Существует, однако, опасность
того, что столь общий метод не даст слишком много нового и приведет
