Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
f ~д!щ[еЙ2 (0)р] + i w[Q*ks (0)р]:
где ki (0) - тригонометрические полиномы второго порядка относительно
переменной 0, a kt (0) a k2 (0) обращаются в нуль для 0 = 0, и 0 = 02.
Теперь мы можем проинтегрировать по Е,
02
Pt(E)= \ ^ Qp (0, q; t)dQdq,
01 о
и после нескольких интеграций получим Pt (Е) = О,
что и утверждалось. Мы использовали тот факт, что ki (0) имеет нули
второго порядка, a k2 (0) - нули первого порядка при 0 = 04 и 0 = 02.
Перейдем теперь к другому аспекту той же проблемы - поведению угла 0 (t)
для больших значений t. Предположим, что особых линий нет, ki (0) > 0. Мы
не будем больше игнорировать инфинитезимальное среднее значение величины
0 и не будем идентифицировать углы, различающиеся на кратное 2л. Вместо
этого мы будем следить за тем, как непрерывно меняется 0 (t) с изменением
t (см. также 4.4.1). Заметим, что G (/), так же как и (0 (/), q (/)),
образует марковский процесс, так как Ах =М^х есть однородная функция от
переменного х. Уравнение Фоккера - Планка для плотности я (0; t) этого
угла 0 (t) может быть записано в виде
дя(0; i) 1 д2 г, ,т , й rt /п\ 1
-= Y ~W [ 1 ^ Я] ~ Ж [ki (0) л]'
где й4(0) - тригонометрический полином первого порядка. Оно может быть
выведено также из приведенного ранее уравнения Фоккера - Планка (с
дополнительными членами, содержащими средние значения) интегрированием
7.5. Примеры
217
по переменной q. Имеем
ОО
~ Ев (0 j 0 dnS^ J) dQ =
- оо
оо 2я
= J л (0; О Л4 (0) d0 = J Р (0; 0 kk (0) dQ,
- со О
где последнее соотношение вытекает из того, что &4(0) периодическая
функция с периодом 2я. Предположим, что мы исходим из процесса с
существующей стационарной плотностью р (в). Для вычисления р (в) нужно
решить уравнение
j ш(0) ~ ж I*4 (0) Pi=°>
или
Т Ж [Й1 ^ Pl ~ ktl ^ Р = а' имеющее решения
0 U
^0)= exp(~2jS х
о о
х ехр (2 S da),
где константы а и 6 должны быть выбраны так, чтобы р (0) являлось
плотностью, удовлетворяющей граничному условию р (2л) =р (0). Но
р ^ fej (0) '
где
р(2л) = Чт?Гехр/2'
2я и
М ехр(-2 lW)dv}du>0'
О
2Я
f М")
J Ы")
О
du.
218
Гл. 7. Стохастические алгебры
Это приводит нас к условиям
b = (b-\- 2ali) exp /2,
так что
a = Ь.
2/j exp /2
Выбирая b как некоторое положительное число, можно сделать р (0)
положительной функцией, так как b + 2a/j = = b ехр (- /2) > 0, и такой,
что интеграл от нее по интервалу (0, 2я) равен единице. Комбинируя все
это, видим, что
2л
Е0 (t) = ^ Р (б) ^4 (9) dQ = - 2яа,
так что
Ет-т=_2па.
Иными словами, точка вращается вокруг начала координат со средней угловой
скоростью а оборотов в единицу времени в отрицательном направлении.
Этот пример может иметь некоторый общий интерес, если его рассмотреть с
точки зрения разд. 4.5.1.
7.5.2. Предположим теперь, что все возможные элементы матриц х
положительны и удовлетворяют неравенству вида
max X:;
----<С< оо.
minjtjy
Для произведения уп = {yv-.} = хгх2 . . . хп имеем
min "/";< || уп || < йтах г, j г, j
где используется та же норма, что и в начале разд. 7.5.1. Но
z"" х\.
у а__________V, ц
2 "iv "vn "hj
- <с2,
av vjx fxa
V, ц
где {zVl).} = х?х* . . . хп~х, так что
max yfj < С2min i/?,•.
i, i i. i
7.5. Примеры
219
Следовательно,
4 logmin yij < ^ l°g I! Уп I! < ~ l0g^C2) + 7Г logmin У&-
i,i I, j
Средняя часть неравенства стремится почти наверное к пределу г (если г
конечно; см. замечания 7.1 и разд. 7.1). Отсюда и из приведенного выше
неравенства вытекает, что
4l°g Уи-^г
почти наверное (если г конечно) для всех индексов i и /.
Было показано (см. замечания 7.5.2.), что если Е | log Хц | 2+6 <С оо для
некоторого положительного б, то существуют действительные постоянные а и
Ъ, такие, что
.. n flog Уц - па -| 1 %
lim Р \- < х \ = -= \ е~i2/2 dz,
л-(tm) I У пЪ J } 2п J
если b не равно нулю. Если b равно нулю, то
->0
l°g ytj-na
У п
по вероятности при п -"-оо.
Не ясно, насколько типичен этот факт (асимптотическая нормальность), но
очевидно, что он не имеет места для матриц общего характера. Можно взять,
например, ортогональные матрицы, для которых известны соответствующие
предельные теоремы (см. гл. 3). Как бы то ни было, было бы желательно
привести этот результат в соответствие с общей теорией.
7.5.3. Чтобы проиллюстрировать понятие случайного спектра, укажем на
два частных случая.
Первый относится к многомерному статистическому анализу. В этой теории
большое внимание уделяется некоторым случайным матрицам, составленным из
оценок дисперсий, ковариаций и коэффициентов корреляции. Элементы будут
иметь распределение Уишарта или иногда нормальное распределение. В
статистическом анализе используются собственные значения kit к2, . . кр,
они образуют случайные величины с совместным распреде-
220
Гл. 7. Стохастические алгебры
лением вероятностей, плотность которого иногда может быть явно вычислена.
Заметим, что мы должны иметь возможность как-то идентифицировать
собственные значения, например упорядочивая их: >Х2 > ... > Хр.
Для того чтобы привести пример подобной функции плотности, предположим,
