Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
что Хц независимы, если не считать условия симметрии, так что xi} и xag,
независимы, если (t, /) Ф (а, Р) и (t, /) ф (Р, а), Xu = хн, и что xi} =
= N (0, а?,), где a\j = 1/2, если 1Ф /, и ст;г = 1. Тогда совместная
функция плотности собственных значений определяется выражением
ехр (^ -у S ^ )
-----р-------'-----П (>" - >¦!)
1
в области > Х2 > ¦ • - > Хр и равна нулю вне ее.
Можно вычислить распределение простых функций собственных значений,
таких, как определитель, равный Х^Х2 ... (см. замечания 7.5.3).
С приведенным выше выражением для плотности нелегко иметь дело, если р
велико. Интересно поэтому отметить следующий асимптотический результат
(см. замечания 7.5.3). Пусть хи независимы, если не считать условия
симметрии, но имеют распределения, относительно которых можно только
утверждать, что 1) они симметричны относительно нуля, 2) они имеют
дисперсию, равную единице, и 3) они имеют равномерно ограниченные моменты
любого конечного порядка | Ех^ | <ЛГ< оо, r= 1, 2,. . . . Рассмотрим
тогда симметричные случайные матрицы
" ,- {%ijt 1 " 2, . . . , Tl\
У П
с действительными собственными значениями Х2, . . ., Хп. Образуем
случайные величины
П
^рп)=2 K=-trMn= i+p/2 2Xiii*Xi^" ¦ ¦ • Х1р\'
v=i
7.5. Примеры
221
где все индексы ilt i2, ¦ ¦ ., ip пробегают значения 1, 2, . .. п. Легко
видеть, что если р - нечетное, то Е|яр 0, в силу симметрии распределений.
Если р - четное, скажем, р = 2v, то
E[X(2v = 2l E*iii2 Xizi3 . . . xi2vh-
Ясно, что многие члены в написанной выше сумме равны нулю в силу
предположений о независимости и о том, что каждый множитель имеет среднее
значение, равное нулю. Нетрудно доказать, что для больших значений п
главный член в асимптотическом разложении суммы будет иметь вид c2v-nv+1,
а остаток имеет меньший порядок. Следовательно, "'I?1," Е/4"* ~ °2v', v =
1, 2, . . . Вычисление с является более хитрой комбинаторной задачей.
Было показано (см. замечания 7.5.3), что c2v =(2v)!/v! (v + 1)!
Но характеристическая функция с такими моментами
(и нечетными моментами, равными нулю) является целой функцией
со со
Y с № _ у (~?2)v 1 j
LJ t2v (2v)! ~ 2j v! (v + 1)! 2 1 '
V=0 V = 0
\
= 4 S exP^(2l2u) V1 -u\du. -l
Но отсюда вытекает, что для любого полинома с (х) имеем
п 2 _______
lim Ei 2 \ V 1
п-у оо . -
v=l -2
Теперь можно было бы попытаться использовать это для того, чтобы
показать, что для любого интервала (а, Р) (Ц С (-2, 2) имеем
3 ,_____2
Hm Е число КбЦа, Р)]=4§ У 1-Tdu'
а
Функция мощности (см. разд. 7.2) должна тогда иметь предел
х(") = 4/1-т
222
Гл. 7. Стохастические алгебры
и не зависеть от вида распределения х до тех пор, пока не будут выполнены
сделанные предположения (см. замечания 7.5.3).
Вместо этого мы используем следующее рассуждение, которое не только
описывает среднее поведение спектра, но и говорит нам кое-что
относительно действительного асимптотического вида стохастического
спектра. Для того чтобы доказать это более содержательное предложение,
рассмотрим не только среднее поведение, но и дисперсии величин Имеем
Е (h4v )2 = n2+2v 2 ¦ ¦ ¦ xi2vhxhhxhh ¦ ¦ ¦ xi2vh'
Чтобы вычислить эту сумму, зафиксируем индексы t1: t2, . . • , i2v и
посмотрим, что будет происходить, когда остальные индексы меняются. Но
тогда эти члены распадаются на
ЕХцг2 Xi2i3 . . . Xi^ix,EXj1j2Xj2j3 . . .
за исключением случая, когда хотя бы одна из пар (/ь /2), (/2, /з), . •
(/2v, /1) равна по крайней мере одной из пар
(i'i, t2), (i2, h)< ¦ ¦ > (hvr h), (h, h), ¦ ¦ • > (hv> h)-
Но подобная ситуация встречается только в пренебрежи-мом числе случаев,
так что действительно
lim E((x(2v))2 = c|v,
71->03
так что D ((4"*) "^-0. и все моменты ц(2^> сходятся в среднем к
соответствующим пределам c2v. Это имеет место также для моментов
нечетного порядка. Рассмотрим теперь функции распределения F^ni) (и) для
произвольного фиксированного значения и и для произвольной
подпоследовательности щ, п2, п3, ... натуральных чисел. Под (и) мы
понимаем функцию распределения со скачками 1 In в точках Х2, . . ., Хп.
Но все Ц2$ сходятся по вероятности, так что из {nt} можно выбрать
подпоследовательность {nl}, такую, что )я("г) сходится почти наверное,
затем подпоследовательность {nl} CZ {щ}, такую, что сходится почти
наверное и т. д. Диагональная про-
7.5. Примеры
223
цедура дает нам последовательность п[, л", . . . , для которой все
моменты сходятся почти наверное. Но предельные моменты соответствуют, как
мы видели, некоторой целой характеристической функции, откуда вытекает,
что F<-h) (и) сходится почти наверное к F (и), когда k пробегает
некоторую подпоследовательность последовательности {лг}. Так как этого
можно добиться, исходя из любой заданной последовательности льл2, . . то
п = 1, 2, . . .,
сходится по вероятности к F (и). Стохастический спектр стремится в этом
случае к фиксированному спектру. Это может показаться удивительным, но,
по-видимому, имеет место некоторое эргодическое свойство, связанное с
