Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
только к очень бедной теории вероятностей.
Даже при сделанных предположениях существует много сложных вопросов,
остающихся без ответа. Достаточно упомянуть о виде теоремы непрерывности
на локально компактной группе или на банаховом пространстве. По сравнению
с тем, что нам известно на эту тему в случае действительной прямой,
положение неудовлетворительно. Аналогично дело обстоит с общими
однородными процессами и бесконечно делимыми распределениями
вероятностей: ощущается необходимость в детальной характеризации и полном
описании. Нужен также метод описания преобразований Фурье распределения
вероятностей в виде критерия, который можно было бы использовать на
практике.
Даже если не удается получить полные ответы на такие вопросы, мы имеем по
крайней мере частичную информацию в этой области. Перейдем теперь к более
трудным и насущным вопросам. На действительной прямой мы имеем богатую
информацию относительно предельных распределений, иногда в неявной,
иногда в законченной форме. На полугруппах, группах и т. д. положение
много хуже. Возьмем группы матриц, которые среди стохастических групп
имеют особенно большой практический интерес. Предположим, что в некоторой
частной ситуации мы можем показать, что некоторое распределение может
быть аппроксимировано каким-то предельным распределением, скажем,
нормальным. Как это можно использовать практически? Если только мы не
имеем дела с особенно простыми ситуациями, у нас нет подхода для
получения явного выражения для этого распределения. Может оказаться
возможным вычисление нужной вероятности путем численного решения данного
параболического уравнения. Если это оказывается возможным, то вряд ли мы
можем пойти дальше и вычислить эти распределения для многих значений
параметров, так как число их может быть огромным (см. гл. 7). Поэтому мы
должны искать методы выражения этих распределений как параметрических
семейств таких
228
Обзор
основных распределений, которые могут быть вычислены раз и навсегда. В
настоящее время ни одного такого метода не известно. Можно было бы
возразить, что подобного рода трудности и следовало ожидать. Наше знание
нормальных распределений в конечномерных евклидовых пространствах
является результатом большой работы, и нужно быть готовым к детальному
изучению каждой из многих других стохастических групп, представляющих для
нас интерес, для того чтобы прийти к численно полезным результатам.
В некоммутативной структуре мы можем столкнуться с той трудностью, что
множество предельных распределений (для различно распределенных
компонент) не замкнуто относительно композиции. Пусть, скажем, мы изучаем
произведения вида
" _ ЛП) С(") гХ")
IX п - iSj 02 . . . Sn l\ In )
где все независимые случайные элементы s(") имеют одно и то же
распределение Рп и все элементы имеют распределение Qn. Мы знаем, какие
условия надо наложить на Рп и Qn для того, чтобы
"(") (п) (п) г _
S') ... Sn т* -LvJ? tl ^ СО 5
Ап) Ап) Ап) , _
И Г 2 ... 1п -> , П -^ 03 •
Рассмотрим случай, когда предельные распределения Z+ и L2 принадлежат к
сложному пуассоновскому типу. Известно, что * L2 не обязано быть сложным
пуассо-новским распределением, так что предельное распределение
произведения ип может иметь другой вид. Это противоположно тому, что
имеет место на действительной прямой, где предельные распределения часто
одни и те же и для равных и для различных компонент. В нашей более общей
обстановке случай различных компонент вряд ли вообще рассматривался, и
здесь мы можем встретиться с серьезными трудностями.
Рассмотрим, наконец, следующую основную проблему для некомпактных
стохастических групп. Производя выборку из распределения Р ? & (G),
образуем произведение Y" = g,g2 . . . gn и будем интересоваться
аппроксима-
Обзор
229
циями распределения Рп* произведения уп. Заметим, что распределение Р
отдельных множителей сохраняется фиксированным и не стремится к бе с
увеличением объема выборки. Ни одна из имеющихся предельных теорем не
может быть непосредственно применена в этом случае, и мы должны подумать
о каком-то новом подходе. Хотелось бы получить результат вроде
следующего. Существует последовательность Mt, М2, ¦ ¦ . взаимно
однозначных отображений группы G на себя, такая, что элементы М"уп
сходятся по распределениям к некоторому невырожденному Q 6 & (G).
Приходим к мысли о выборе Мп как автоморфизмов и использовании затем
анализа Фурье, но в настоящее время сомнительно, чтобы это привело к
успеху. Это, возможно, самая важная из проблем, остающихся открытыми для
стохастических групп.
Больше всего мы нуждаемся в дополнительном опыте обращения с конкретными
стохастическими структурами. Мы можем надеяться достичь этого при
применениях теории к специальным задачам.
ЗАМЕЧАНИЯ
1.2.1. Мы предполагаем известными основные понятия теории
вероятностей (см., например, Лоэв [1]). Нам понадобятся также результаты
общей теории меры, скажем, в объеме книги Халмоша [1].
