Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
v (Е) = 0 для любого компактного множества. Отсюда вытекает, что
вероятностная мера, абсолютно непрерывная относительно одной из мер ц.
или v, абсолютно непрерывна и относительно другой. Поэтому можно говорить
об абсолютно непрерывных мерах (относительно мер, инвариантных справа или
слева), опуская слова "справа" и "слева".
3.1.2. Алгебра L4 (G) изучается, например, в работе Хьюита [1].
3.1.3. Вероятностный оператор Т и некоторые его спектральные свойства
были изучены Гренандером [2].
Вероятностные операторы
Ttf(g)= J f(gh)Pt(dh),
G
соответствующие непрерывному однородному процессу на компактной группе G,
обладают некоторыми простыми свойствами:
240
Замечания
а) Tt есть сильно непрерывная полугруппа в С (G),
б) Tt\ = 1,
в) Tt положительны, т. е. Ttf(g) > 0, если f (g) > 0 для всех g 6 G,
г) Tt коммутируют с левыми переносами. Это легко проверить. Заметим
также, что верно и обратное: оператор, обладающий этими свойствами,
представим в указанном выше виде. Действительно, если выполнены условия
а) и б), то для фиксированного t функционал Тt / (е) может быть
представлен в виде
Ttf(e)= jj f (h) Pt (dh), Pte(r){G). b
Но из свойства г) вытекает, что для любого левого переноса Lx -+gx мы
имеем
Ttf (g) = TtLf (e) = b[f (A) Pt (dh) = jj f (gh) Pt (dh).
G G
Наконец, условие а) показывает, что Pt образует непрерывный однородный
процесс на G.
3.1.4. Форма эргодической теоремы, удобная для настоящей цели,
приведена в книге Данфорда и Шварца [1], стр. 717.
3.1.5. Некоторые авторы используют термин "непрерывный гомоморфизм".
3.2. Теорема 3.2.1 принадлежит Уэнделу [1]. Можно сделать более
подробные утверждения относительно примитивных идемпотентов в IР (G) (см.
замечания 2.3.2) опять же в предположении, что G компактна. Коллинз [1]
показал, что Р является примитивным идемпотентом тогда и только тогда,
когда s (Р) = Н есть максимальная собственная замкнутая подгруппа группы
G и Р - нормированная мера Хаара на Н.
3.2.1. Преобразование Фурье распределений вероятностей на компактных
группах было впервые использовано в классической работе Кавада и Ито К.
[1], содержащей также, по существу, теорему 3.2.4.
Замечания
241
Лемма 3.2.1 может быть высказана в более приятной форме, а именно:
Для того чтобы некоторое РГ, гф 0, имело норму 1, необходимо и
достаточно, чтобы носитель s (Р) содержался в замкнутой собственной
подгруппе А группы G или в классе смежности по А.
Доказательство. Предположим, что s (Р) с Cl g0A. Тогда симметричное
распределение вероятностей Q = Р * Р имеет носитель, содержащийся в А.
Его преобразование Фурье Р*-Р является эрмитовым, и его норма || Р*-Р||
равна наибольшему по абсолютной величине собственному значению К матрицы
Q = Р*-Р. Но модуль % не может быть меньше единицы для всех представлений
г Ф О, так как тогда последовательность Qri* сходилась бы к нормированной
мере Хаара fi на G (см. лемму 3.2.2), имеющей носителем G. Следовательно,
существует г такое, что || г (J =1 и Р* - Рг = + г (для некоторого
представления), причем || Р || должна равняться единице.
С другой стороны, предположим, что || Р || =1. Тогда
А
существует такое г, что || г || = 1 и || Рг || = 1, т. е.
J U(g)zP(dg) |Ul.
G
Но отсюда вытекает, так же как и в основном тексте, что s (Р) содержится
в некотором g0A.
Занумеруем все функции и$ (g), входящие в неприводимые унитарные
представления: и0 (g) = 1, их (g),
"2 (g), .... Пусть задано множество матриц AW с элементами а0, аи . . . ,
занумерованными, как выше. Является ли оно преобразованием Фурье
некоторого Р G йР (G)? Вот ответ на этот вопрос.
Теорема. Матрицы Л<г> образуют преобразование Фурье некоторого
распределения вероятностей на группе тогда и только тогда, когда а0 = 1 и
для всех значений п и cv имеет место неравенство
П П
| 2 cv"v | < max | 2 cv"v (g) I •
• v=0 g?G v=0
242
Замечания
Доказательство. Это практически эквивалентно классическому результату Ф.
Рисса. Необходимость условия очевидна. Достаточность легко доказывается
при следующем определении линейного функционала L: если
П
f(g) = 2 CyUv(g), v=0
определим
п
Ef - 2 Cvdy v=0
Так как j Lf | < || f j| и так как uv (g) образуют равномерно полную
систему в С (G), то L может быть распространено на С (G) с нормой, не
превосходящей единицы,
и, следовательно, должна существовать вполне непрерывная функция
множества Р (Е) с вариацией, не превосходящей единицы, такая, что
Lf=\f(M)P(dg), Ъ
откуда вытекает, что
Luv = av, А = Р.
Так как L1 =1, эта функция множества является вероятностной мерой.
3.2.2. Сошлемся на Стромберга [1] по поводу модификации утверждения
Кавада - Ито и на связанные с этим исследования Клосса [1], [2], Урбаника
[1], Главки [1] и Коллинза [2].
Если Р абсолютно непрерывна и обладает плотностью, интегрируемой с
квадратом, то можно использовать теорию ядер Гильберта - Шмидта. В этом
случае Ривкиндом [1] было показано, что Рп* сходится к нормированной мере
Хаара, если G связна.
3.2.3. Это неравенство установлено Клоссом [2].
