Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
-со О
и предположим, что моменты
т = Eq, o2 = E(q - trif конечны. Тогда величина
F (и, v)= ^ ^ exp(/"e + ivy)dF(Q, (р)
(Рп, Фп) = (
V п
Ф1 + ф2 + • • • + фп
)
имеет распределение вероятностей с преобразованием Фурье
что по абсолютной величине меньше единицы при v ф 0. Следовательно,
Для v = 0 получаем, как в доказательстве простейшего варианта центральной
предельной теоремы, что
Это показывает, что при я оо асимптотическое распределение (Рп, Ф")
нормально для Рп, равномерно для Ф", и эти две координаты независимы. В
случае, когда ф имеет решетчатое распределение, это рассуждение может
быть изменено. Этот случай имеет место, например, когда X -
действительное поле, ф = 0 или ф =л.
Другой случай, близкий к рассмотренному, получим, когда банахова алгебра
X является коммутативной или полупростой. Из теории Гельфанда известно,
что в послед-
Когда п стремится к бесконечности,
F (0, у) = Е exp (imp),
при v Ф 0.
a Y п
и
, о
7.5. Примеры
207
нем случае X изоморфно семейству непрерывных функций с (t) на некотором
компактном множестве Т (см. замечания 7.4.2). И снова ситуация
представляет мало интереса. Для того чтобы изучать предельные теоремы, мы
будем рассматривать произведения с± (t) с2 (t) . . . сп (t) и суммы Ci
(t) + с2 (0 + • • • + сп (t), приводящие соответственно к логонормальному
и равномерному (может быть, на некоторой подгруппе) распределениям или к
нормальному распределению. Это имеет место, когда рассматривается
значение произведения или суммы для каждого t отдельно, но можно также
определить совместное асимптотическое распределение для любого конечного
числа значений t или на ст-алегбре, порожденной соответствующими
цилиндрическими множествами.
7.5. Примеры
7.5.1. Важный случай стохастической алгебры представляют собой
случайные k х /^-матрицы. Эта алгебра обладает достаточно богатой
структурой для того, чтобы на ней могла быть развита полезная и
содержательная теория вероятностей. Рассмотрим сейчас некоторые ее
аспекты. Если записать х ? X в виде
х = {Xfj, i, j - 11 2, .. ., Щ
и ввести норму
||jr|! = max2l*ul>
i i
то X будет банаховой алгеброй. Если предположить, что случайные величины
Хц имеют средние значения т.ц, то, конечно, х будет иметь среднее
значение
т = {пги; /, / = 1, 2, .. .,
Если хи х2, ... - независимые стохастические матрицы в X со средними
значениями ти т2, . . . 6 X, то, очевидно, произведение XiX2 . . . хп
имеет среднее значение triim2 . . . тп. Это утверждение справедливо для
произвольной банаховой алгебры. Действительно, если у и г) - два
стохастически независимых элемента в некоторой банаховой алгебре X со
средними значениями т и fi, то для z = у г) случайная величина || г ||<
|| у ||-1| г) || интегри-
208
Г л. 7. Стохастические алгебры
руема (z, конечно, измерима по Борелю). Тогда Ez = v существует, и для
любого ограниченного линейного функционала х* 6 X* мы должны иметь
х* (v) = Ex* (z) = ^ х* (уц) Pi (dy) Р2 (drj).
Но х* (z) = х* (г/rj) = Ху (л) - ограниченный линейный функционал х*у от
г) при фиксированном у. Тогда теорема Фубини дает нам
x*(v)= ^ xtj(\i)Pi(dy)= ^ x*(y\i)Pl(dy) = x*(m\i),
так что v = Еуц = т\х =Еу-Ец, что и утверждалось.
Получаем, в частности, Exix2 . . . хп = тп, если все множители xv имеют
одно и то же среднее значение т. В матричном случае известно, что
поведение тп при больших п связано со свойствами наибольших собственных
значений т (можно использовать, например, каноническую форму Жордана). В
общем случае оно более сложным образом зависит от спектральных свойств
элемента т.
Рассмотрим теперь уп={у{Т' / = 1, 2, . . ., k}, где уп = XiX2 ... хп.
Тогда, предполагая моменты второго порядка существующими, получаем
ЩТУа§ = 2 ЕхЙ>1Х^1Ех(21)г2<)а2 . . . ЕХ^.Х^^
где суммирование распространяется на аи а2, . . . , an-i, ii, h, ¦ ¦ ч
in-i- Вводя ковариационные квадратные матрицы порядка k2
f С = {Cij, ii jj Р = 1 ? 2, . . . , k) , I Cij, ар = ЕХгУХа|3 "
получаем
Снова можно сделать некоторые асимптотические утверждения. Можно перейти
также к моментам более высокого порядка.
Хотя подобная выкладка и не лишена интереса, она мало помогает в том, что
касается предельных теорем.
7.5. Примеры
209
Это ясно уже на действительной прямой. В самом деле, если X = R1, то нам
известно асимптотическое поведение уп = *1*2 • • ¦хп, которое может быть
выражено в терминах логонормального распределения. Если а = Е log х и b =
D (log х) существуют, то (log уп ¦- па) (пЪ)~1/'* асимптотически
нормально. Тогда можно ожидать, что уп имеет порядок епа, а Еуп = (Е*)'";
первое выражение соответствует среднему геометрическому, а второе -
среднему арифметическому, и, вообще говоря, они существенно различны.
Из разд. 7.1 известно, что при изучении некоторых предельных задач мы
можем рассматривать соответствующие мультипликативные однородные
процессы, зависящие от непрерывного параметра времени t. Рассмотрим два
таких процесса в матричном случае.
Пусть у (t), t> 0, есть аддитивный однородный случайный процесс,
