Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
1.2.2.J. Известно, что функция ф (z) тогда и только тогда является
характеристической функцией устойчивого распределения, когда
log ф (z) = iyz - <? ] z Г [ 1 + ф -щ да (z, а) ] , где константы а, |3,
у, с удовлетворяют неравенствам
0<а<2, -1<ф<1, -co<y<+co> <?>0,
a
f JT
( tg -у а, если а ф 1, w(z, а)= \ 2
I " l°g 12 |. если а = 1
(см. Гнеденко и Колмогоров [1], стр. 177).
1.2.2.2. Подходящим методом изучения распределения некоторых
функционалов частичных сумм случайных величин является принцип
инвариантности Эрдёша, Каца и др. (см. Донскер [1]). Пусть Sv = Xi+х2+ .
. . + *v есть частичная сумма независимых и одинаково распределенных
случайных величин xt со средними значениями 0 и дисперсией 1. Если F -
достаточно хорошая функция от 5ь52, . . . , Sn, то можно показать, что F
(S it S 2, ¦ ¦ ¦
. . Sn) имеет асимптотически то же распределение, что
Зам ечания
231
и F* (х, (()), где F* - некоторый функционал в С (О, 1), тесно связанный
с F, а х (t) - винеровский процесс.
1.3.2. Эта проблема рассматривается в книге Гренан-дера и Розенблата
[1], стр. 51.
1.3.3. Эта проблема рассматривается в работе Пер-рэна [1], стр. 1.
1.3.4. Неупорядоченные линейные структуры исследуются во многих
работах по физике. Укажем только на особенно интересную работу Дайсона
[1].
1.4.3. Это понятие математического ожидания является обобщением
понятия, естественного в Rh. Пусть х = (хи х2, ¦ . ., Xk) - случайный ^-
мерный вектор. Обычно определяют математическое ожидание вектора л; как
вектор с компонентами (Exb Ех2, ¦ ¦ ., Exk), если они существуют. В
бесконечномерном векторном пространстве, скажем, имеющем базис,
существует дополнительная трудность, заключающаяся в том, что в
пространстве может не оказаться вектора с компонентами Exv, v = 1, 2, . .
.
1.4.7. Изучались также распределения вероятностей в однородных
пространствах. Вулл [1] рассматривал однородные случайные процессы со
значениями в таком пространстве. Хотя это и относится к нашей теме, но
выходит за рамки книги и здесь не будет обсуждаться.
2.1. Сепарабельным мы называем пространство, имеющее счетный базис
(вторая аксиома счетности). Когда мы имеем дело с метрическими
пространствами, это эквивалентно существованию счетного всюду плотного
множества (см., например, Данфорд и Шварц [1], стр. 32); обычно это
свойство и принимается за определение сепарабельности для таких
пространств.
Сепарабельность не всегда существенна для последующих результатов, и при
дальнейшем развитии теории она, наверное, может быть заменена значительно
более слабым предположением. Условие сепарабельности удобно, так как оно
позволяет избежать некоторых трудностей,
232
Зам ечанпя
связанных с вопросами измеримости. К тому же гильбертовы пространства L2
(G), $? и т. д. становятся сепарабельными; множество неприводимых
унитарных представлений компактной группы становится счетным и т. д.
Можно использовать другие ст-алегбры в качестве области для вероятностной
меры, а не ту, которая использована в тексте. Единственным требованием,
налагаемым на эти алгебры, является их замкнутость относительно
используемых алгебраических операций: если Е и F принадлежат ст-алгебре,
то их (алгебраическое) произведение EF также должно принадлежать ей.
2.I.J. Хотя это не всегда оговаривается в тексте, часто будет иметься в
виду вероятностное пространство (Q, , }х),
и случайный элемент s представляется тогда в виде s = = s (<а), где s
(<а) - (борелевское) измеримое отображение: прообраз борелевского
множества из S должен принадлежать .
В этой связи стоит отметить следующую проблему. Если мы хотим
рассматривать бесконечную систему {s(; t ? Т} случайных элементов, то
можно ли построить вероятностную меру на прямом произведении ST, исходя
из конечномерных (частных) распределений? Другими словами, проходит ли
колмогоровская конструкция (первоначально проведенная в RT) в этом, более
общем случае?
Такие вопросы только по временам обсуждаются в тексте. Заметим только,
что эта конструкция проходит, если S - локально компактное хаусдорфово
пространство (см. Пакшираджан [1]) или если S -полное метрическое
пространство (см. Шпачек [2]).
Предположение регулярности, которое делается в тексте, не очень важно и,
в действительности, не всегда используется в книге. Иногда, однако, оно
удобно, например для того, чтобы получить теорему Рисса о представлении в
ее обычной формулировке. Действительно, пока мы имеем дело с
сепарабельными локально компактными пространствами, каждая борелевская
мера есть мера Бэра и, следовательно, регулярна (см. Халмош [1], стр.
223).
Индекс со в символе La (S) указывает на бесконечную точку. Если дано
локально компактное пространство S, то мы можем превратить его в
компактное пространство Sa,
Замечания
233
добавив новый элемент со и определяя систему открытых множеств в Sa, как
систему, состоящую из всех открытых множеств в5 и из дополнений
компактных подмножеств bS . Если (в случае, когда 5 - полугруппа) мы
