Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
принадлежит Годману [1].
Теорема] 5.2.1 принадлежит Лойнесу [1].
5.2.!. Локально компактная группа полна, т. е. в ней любая
последовательность Коши имеет предел (см. Бур-баки [1], стр. 227).
Более подробное обсуждение различных видов стохастической сходимости в
равномерных пространствах см. в работе Досса [2].
5.2.2. Пакшираджан [1] изучал критерии сходимости для локально
компактных коммутативных метрических групп. Среди других результатов он
получил следующий:
ОО
для того чтобы ряд сходился почти наверное, необхо-1
00
димо и достаточно, чтобы произведение ПЕу(ё")сх°-
1
дщюсь для любого характера у G*,
Замечания
251
5.2.3. Два указанных типа сходимости эквивалентны также сходимости по
вероятности (см., например, Лоэв [1], стр. 265).
5.2.4. Это - стандартное аппроксимационное рассуждение (см. Наймарк
[1], стр. 335 и 363).
5.3.J. Относительно спектрального представления линейного оператора см.,
например, Рисс и Секефальви-Надь [1], стр. 304. Этот и следующие
интегралы должны пониматься как берущиеся по полуоткрытому интервалу [-я,
л).
5.3.2. О понятии и свойствах интеграла Бохнера см., например, Хилле и
Филлипс [1], стр. 92.
5.3.3. Такие операторнозначные функции, как N (А)
и М (А), называются обобщенными разложениями единицы (см. Ахиезер и
Глазман [1 ], стр. 359). При работе с такими функциями может оказаться
полезным знание того, что они могут быть представлены следующим образом.
Существуют такое гильбертово пространство в которое
вложено $?, и такое обычное разложение единицы ?+(А) в 3?+, что для
любого имеем N (A,) z=P?+(A) z,
где Р - оператор проектирования 3?+ на qK .
5.4. См. Гренандер [5].
5.4.J. Стоуновское представление группы унитарных операторов
рассматривается, например, в книге Рисса и Секефальви-Надя [1], стр. 411.
5.5.2. Группа линейных преобразований я-"-ая+ |3 и ее неприводимые
представления рассматриваются в книге Наймарка [1], стр. 342.
Относительно других классических групп см. Гельфанд и Наймарк [1].
5.5.3. Важное соотношение г =Y(2h - 1)//г2 было доказано Кестеном. В
его работе [1] можно найти ряд относящихся сюда результатов. Укажем на
следующее простое выражение для спектрального радиуса оператора М. Запи-
252
Замечания
шем М в спектральном представлении
Я-2
М-= \ XdE (X),
й
где Xj выбрано столь большим, а Х2 столь малым, насколько возможно, т. е.
и Х2 - соответственно левый и правый экстремумы спектра. Конечно, спектр
вполне определяется диагональными элементами Ец (X) (мы представляем
операторы Е (X) в пространстве 12). Вероятность вернуться из i в i за п
шагов равна
Мй- J /. с! Еи (/.).
Но все MW, а следовательно, все Ец не зависят от i в силу своего
вероятностного значения. Таким образом, спектральный радиус г
определяется соотношением
г = шах (| Xi |, | Х21) lim Ми ==
П->СО
= [радиус сходимости ряда 2 Мих11]-1.
П
Кестен [2] показал также следующее. Пусть Р - симметричная вероятностная
мера на счетной группе s (Р), такая, что носитель s (Р) натянут на G.
Тогда || Т || =1 тогда и только тогда, когда существует полное банахово
среднее значение на G. Полное банахово среднее значение есть функционал
L, определенный на пространстве В (G) действительных ограниченных функций
на G, такой, что
L (cifi + c2f2) = CiL (/i) -f- c2L (/2),
. inf /(ff)<^(f)<supf (g),
g?G g?G
Lf (agb) - Lf (g),
где Ci и c2 - произвольные действительные постоянные; /. /ь /г 6 В (G), а
а и b принадлежат G.
6.1. В этой главе мы будем предполагать известными некоторые сведения
относительно основ теории линейных
Замечания
253
пространств (см., например, первые две главы книги Хилле и Филлипса [1]).
Начало исследованию стохастических банаховых пространств положила работа
Мурье [1], содержащая многие результаты этой главы. Очень хорошим
источником информации является также работа Прохорова [1], особенно
относительно сходимости распределений вероятностей в банаховом
пространстве, и два глубоких исследования Прохорова [2] и Ле Кама [1].
(См. также Варадараджан [1].)
6.1.!. Заметим прежде всего, что для того чтобы показать, что X содержит
все открытые подмножества пространства X, достаточно доказать, что все
шары в X принадлежат X. Рассмотрим шар S = {х | || а: ||< 1}. Введем
множество F всех х* (j X*, таких, что \\ х* |( =1. Тогда
S= П As'i Ах* = {х [1 х* (х)\ < 1}.
x*?F
Действительно, S ID П Ах* очевидно, а обратное включение доказывается
следующим образом: если я ? [~] Ах*
и х* ? F, х* (х) = || * ||, то || х || < 1 и х ? S .
Выберем теперь последовательность х^, х\, . . . , плотную в F в смысле
слабой сходимости (это можно сделать в силу предположения
сепарабельности), и определим
Ei = {х 11 х* (х)\< 1},
E=r\Ef
i
Очевидно, что Е U S , С другой стороны, если л; принадлежит Е, но не
принадлежит S = П Ах*, то
U*M| < 1 для всех I,
I х* (х)\ > 1 Для некоторого х* ? F.
Но это приводит к противоречию, так как это х* может
быть аппроксимировано с помощью х*, и наше утверждение
доказано.
