Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
х + у нормальна, то х и у также имеют нормальные распределения.
6.3.2. В доказательстве теоремы 6.3.6 нужно только предположить, что
оо
lim sup 2 s" = 0;
N->03 п N-f- 1
на самом деле это является также необходимым условием (см. Прохоров [1]).
6.4. Существует много различных вариантов закона больших чисел в
банаховом пространстве; некоторые из них принадлежат Мурье [1]. В
отдельных теоремах незави-
Замечания
257
Симость заменяется стационарностью. Бек [1] рассматривал
последовательность независимых случайных элементов хп, таких, что Ех", =
О, Е || хп ||2<-Л4 и показал,
что в этом случае усиленный закон больших чисел имеет место при
предположении, что X - равномерно выпуклое банахово пространство.
Можно (и это нетрудно) заменить предположение, что xv независимы и
одинаково распределены, условием, что они образуют стационарную
последовательность. Аналогично можно изучать стационарные процессы с
непрерывным параметром, принимающие значения в банаховом пространстве, и
соответствующие эргодические теоремы.
6.5. Эти формы центральной предельной теоремы принадлежат Мурье [1] и
Форте и Мурье [2]. X называется G-пространством, если существуют такая
постоянная К и такое отображение g: X -> X*, g (х) ? X*, что
1) l|g(*)l| = |l*||.
2) (g(x), л:) = |И!2>
3) ||g(*)-?(y)l|<K|l*-yll-
Среди G-пространств содержатся Lp-пространства при р> 2 и, в частности,
гильбертово пространство.
6.6. Стохастические распределения Шварца были введены Гельфандом [1] и
К. Ито [3]. Дальнейшие результаты были получены Ульрихом [1], Урбаником
[3] и др.
Гельфанд [1] использует следующее несколько более широкое определение
стохастического распределения Шварца: d (ф) должно быть обычной случайной
величиной для любого ф и аналогично для любого вектора d (ф^, d (ф2), . .
. , d (ф"); d должно быть линейным функционалом: d (c^ + + С2Ф2) = ci^
(Ф1) + czd (фа); Для любого натурального числа п и фiv, таких, что lim ф^
= ф4, i = 1, 2, , п;
V->00
конечномерное распределение величин d (ф^,), d ((p2v), ¦ ¦¦ , d (фл v)
должно стремиться к распределениям величин d (Ф1), d (ф2), . . . , d
(фл). Гельфанд вводит характеристический функционал
Р (ф) = Еехр [trf (ф)], ф?Ф.
258
Замечания
Как обычно, это - положительно определенная эрмитова функция,
удовлетворяющая условию Р (0)= 1. Она непрерывна, так как если фп -*-ф,
то распредетения обычных случайных величин d (фп) стремятся к
распределению d (ф), так что Р (фп) Р (ф). Более интересно то, что верно
и обратное. Прежде всего ясно, что если f (ф) - положительно определенная
эрмитова функция и / (0) = 1, то можно определить согласованные
конечномерные распределения вероятностей обычных случайных величин,
обозначаемых xx = d (ф!), x2 = d (ф2), . . . ,xn = d(ф"), требованием
П П
Е exp (i 2 tvXv)=fCZ tv<Pv)-i i
П
Пусть x- d (2 Cv<Pv) - случайная величина, соответствую-i
n
щая линейной комбинации 2cv<Pv- Тогда
(
П
Е ехр [iu(x - 2 CvJfv)] = /(0) = 1,
i
П п п
Так ЧТО Р (X - 2 CVXV = 0) = 1 И d (2 Cv?v) = 2 (фу) i i i
почти наверное, что и требовалось. Наконец, если {ф^} такова, как сказано
выше, то только что введенные распределения случайных величин d (ф^), d
(ф2л,), ¦ ¦ . , d (ф" г) сходятся к распределениям величин d (ф^, d (ф2),
. . ., d ((fn) при v -voo. Следовательно, положительно определенная
функция f (ф) соответствует стохастическому распределению Шварца,
определенному по Гельфанду.
Сравните это понятие с понятием слабого распределения в банаховом
пространстве (см. замечания 6.2.3.).
6.6.1. Теорема 6.6.1 принадлежит Ульриху, который доказал ее методом
аппроксимации. Существует последовательность фь ф2, . . . в Ф, обладающая
следующими свойствами. Любая ф 6 Ф может быть аппроксимирована
подпоследовательностью фП1, ф"2, ... . Но сходимость
Замечания
259
последовательности
П
4" 2dv (ф*)
i
является непосредственным следствием классического закона больших чисел.
Используя равностепенную непрерывность, можно убедиться, что с
вероятностью единица
П
-jt 2dv (ф) -*¦ т (ф)
1
для всех ф ? Ф.
6.7. Более подробное изложение этих вопросов можно найти в работе Форте
и Мурье [1]. Они изучают сходимость эмпирических функций распределения
(некоторых случайных вероятностных мер) в общем метрическом пространстве.
Их результаты не являются непосредственными следствиями рассмотренных
вариантов закона больших чисел, но требуют отдельного вывода.
Другим приложением являются пространства Орлича. Пусть v = ф (и) и и -
г|) (и) - две взаимно обратные функции, такие, что 1) ф (0) = гр ( 0) = 0
и 2) ф и г|) не убывают. Введем функции
U V
Ф (и) = ^ ф (х) dx, W(v) = ^ (х) dx.
о о
На измеримом пространстве (А, т) рассмотрим ^-измеримую комплексную
функцию / (а), такую, что
sup ^ [ / (a) g(a)\m (da) < со,
А
где верхняя грань берется по всем g таким, что
I ? [|g(a)|]m(da)< 1.
А
Это множество функций Ьф называется пространством Орлича. Оно может быть
превращено в банахово про-
260
Замечания
странство (см. Заанен [1], стр. 101). Аналогичным образом вводится L-qr.
