Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 75

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 82 >> Следующая

В работе Крамера и Вольда [1] было доказано, что распределение
вероятностей в Rk однозначно определено, если известна вероятностная
масса, распределенная на каждом полупространстве + с2х2 + . . . + chxh <
с. Эти полупространства образуют семейство единственности.
254
Замечания
До тех пор пока мы имеем дело с сепарабельными банаховыми пространствами,
мы видим, что с полупространствами так же удобно работать, как и с
открытыми множествами: ст-алгебры, порожденные этими двумя семействами,
совпадают.
В нашем случае вероятностное пространство не является локально
компактным, так что композиции не будут определяться точно так, как в гл.
2. Однако если X сепарабельно и Хх и хг - независимые случайные элементы,
то их сумма Xi + хг есть также случайный элемент. Действительно, пусть
Xi(a>) и х2(и>) - независимые случайные элементы, определенные на
вероятностном пространстве (Q, Р). Как ясно из предыдущего, достаточно
пока-
зать, что множества вида
{СО | ** [Xi (со) -)- *2 (со)] < 1} = {со | ** [Xi (со)] + ** [хг (to)] <
1}
принадлежат ст-алгебре Но х* [xi (со)] и х* [х2 (со)] - обычные случайные
величины, принимающие действительные значения, так что это верно для
каждого х* 6 X*. Таким образом, случайный элемент xi (to) + х2 (со) имеет
определенное распределение вероятностей на борелевских множествах
пространства X. Это не имеет места в общем несепарабельном пространстве
Х\ пример можно найти в работе Недома [ 1 ].
Иногда оказывается полезным следующий критерий. Пусть Хп (со) -
последовательность случайных элементов из X, такая, что хп (со) ->-х (со)
? X для любого ш. Тогда х (ш) есть случайный элемент. Большую информацию
можно найти в работе Ганша [1].
Композиция Р * Q непрерывна по Р и Q. Действительно, предположим, что
имеет место слабая сходимость Рп -*-Р, Qn -*-Q. Тогда для любой
ограниченной и непрерывной функции / (х) при Rn = Рп * Qn имеем
К f(x)Rn(dx)= ^ Pn(dx) ^ f{x + y)Qn{dy)->
X х?Х у?Х
-> J P(dx) J f(x + y)Q(dy)=^f(x)R(dx)
х?Х у?Х X
(модификации доказательства в замечаниях 2.2.2, см. также теорему 6.2.2),
Замечания
255
6.1.2- Для конечномерных евклидовых пространств это было показано уже в
работе Крамера и Вольда [1].
6.1.3. Доказательства свойств 1)-5) операции образования среднего
значения (в терминах интеграла Петтиса) можно найти, например, в книге
Хилле и Филлипса [1], стр. 91-95.
Заметим, что для сепарабельных пространств, которые мы рассматриваем,
интеграл Петтиса эквивалентен интегралу Бохнера и Е || х || <оо является
не только достаточным, но и необходимым условием существования Ex.
Некоторые авторы вводят понятие математического ожидания или среднего
значения в более общих пространствах. Если X - метрическое пространство с
метрикой q (х, у), то говорят, что случайный элемент х, принимающий
значения из X, имеет среднее значение т ? X, если
Eq2(x, m) = inf Eq2(x, а).
а?Х
Это определение принадлежит Фреше [1]. Аналогичное определение
принадлежит Доссу [1]: случайный элемент х имеет среднее значение т ? X,
если
g(m, a)<Eg(x, а)
для каждого а?Х. Так как эти определения выходят за рамки нашего
исследования, то они не будут изучаться далее; заинтересованный читатель
может посмотреть цитированные выше работы и работу Урбаника [3], в
которой изучается интеграл Досса для случая коммутативной группы X с
инвариантной метрикой Q.
6.1.4. Эта метрика, на действительной прямой введенная Леви,
изучалась в рассматриваемой нами ситуации Прохоровым [1], у которого
можно найти доказательство утверждения относительно метризации.
6.2.1. (См. Халмош [1], стр. 45.) Для несепарабельного пространства
эта ситуация еще полностью не исследована. (См. также Дримл [1].)
256
Замечания
6.2.2. (См. Прохоров [1].) На действительной прямой компактность
вероятностных мер Рп эквивалентна равностепенной непрерывности Рп при х*
= 0. Стоит отметить, что не существует локально выпуклой топологии в
гильбертовом пространстве 12, для которой это утверждение имело бы место
(см. Прохоров и Сазонов [1]).
6.2.3. Теорема 6.2.4 принадлежит Колмогорову [3]. Некоторые
интересные обобщения даны Прохоровым [2].
Предполагалось, что имеет смысл работать со слабыми распределениями: если
х* (х) имеют вполне определенные и согласованные распределения
вероятностей для всех х* ? X, то эта система распределений вероятностей
называется слабым распределением на X. Нетрудно видеть, что функция ф
(х*) определяет слабое распределение тогда и только тогда, когда она
является положительно определенной, ср (0) = 1 и ср (х*) непрерывна вдоль
любого луча сх*, -оо < с < оо. В настоящее время польза слабых
распределений представляется сомнительной.
6.3. Нормальные распределения могут быть эквивалентным образом
определены так: Р ? & (X) называется нормальным распределением
вероятностей, если х* (х) - нормальное распределение на R1 для каждого х*
? X*.
6.3.J. Это рассуждение основано на следующей теореме Крамера [1]:
если х, у, z- действительные случайные величины, х я у независимы, а г =
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed