Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
инфинитезимальный порождающий оператор М' может быть выражен членами
первых двух порядков в инфинитезимальных преобразованиях, принадлежащих
факторалгебре А/п. Но она изоморфна алгебре Ли группы GIN - G' (см. Кон
[1J, стр. 132), и это заканчивает доказательство. Сравните это с тем, что
говорится в разд. 4.5.1 относительно вида нормальной плотности,
выраженной с помощью накрывающей группы.
4.2.5. (См., например, Понтрягин [1], стр. 330.) Это простое
следствие свойств унитарных представлений.
Замечания
247
4.3.-4.4. Некоторые выводы в этих разделах только намечены, для того
чтобы не затемнять математической сущности рассуждения. В частности,
некоторые рассуждения, связанные с аппроксимацией, если и упомянуты в
тексте, то только вскользь. Читатель, интересующийся полными
доказательствами, должен обратиться к работам Вена [1], [2].
4.5.1. Конструкция процесса на накрывающей группе G* принадлежит С.
Ито. Понятие накрывающей группы изучается в книге Кона [1]. Относительно
броуновских движений в группах Ли и их инфинитезимальных операторов см.
К. Ито [2].
В интересной работе Мак-Кина [1] строится броуновское движение, исходя из
броуновского движения в алгебре Ли. Его конструкция проводится для группы
трехмерных вращений, но применима и для более общих групп Ли. (См. также
разд. 7.1.)
Следующий пример принадлежит П. Мартин-Лёфу. Пусть / (х, ст) - нормальная
плотность на Т1:
СО
l(x' = 2 е*Р [ ~ ] •
V = - со
Определим
А(*) = /(*; y%) + ucos*>
h(x) = f(x; ^-)-2?^cosx,
где
a = 5 / cos x dx.
T1 ^ 2
Если и достаточно мало, то /, (х) и /2 (х) - плотности. Но
- 2 ц^2а cos х * cos х = f (х\ а)>
248
Замечания
так как
1
COS X * COS X = Y COS x,
f x; * cos x = a cos x.
Это показывает, что нормальное распределение на Т1 может быть
представлено в виде композиции распределений, отличающихся от
нормального.
4.5.2. См. Гренандер [3].
4.5.3. Более детальное изложение можно найти в работе Карпелевича,
Тутубалина и Шура [1]. Эта же стохастическая группа рассматривалась
Гетуром [1], в работе которого безгранично делимые распределения
изучались с помощью преобразования Лежандра.
5.1. Исчерпывающим и прекрасно написанным введением в область локально
компактных групп, унитарных представлений, положительно определенных
функций и т. п. является книга Наймарка [1], а заинтересованный читатель
может найти дополнительную информацию по этим вопросам в работах Годмана
[1], [2]. Представление в виде прямого интеграла дано в работе Маутнера
[1] и более полно в его же работе [2]. (См. также Хьюит [1], Люмис [1].)
5.1.1. Реальное значение свойств Р и Р' еще не вполне понятно.
Компактная группа обладает ими тривиальным образом. Используя лемму из
книги Наймарка [1 ], стр. 375, можно показать, что локально компактная
коммутативная группа также обладает этими свойствами. Для общих локально
компактных групп ответ, однако, не известен. В литературе обсуждался
вопрос, может ли функция, тождественно равная единице, быть равномерно
аппроксимирована функциями вида с (g) * с (g). Это связано с вопросом о
норме вероятностного оператора Т (см. разд. 3.1). Йосидзава [1] построил
следующий пример, показывающий, что эта аппроксимация не всегда возможна
при с 6 L2 (G). Пусть G - свободная группа с двумя обра-
Замечания
249
зующими а и Ь. Тогда для всех достаточно малых е > О не существует
функции с 6 Ь2 (G), такой, что
с* с(е) = 1,
| с* с (а)- 1
J с * с (Ь) - 1
ii
2
"2"
Действительно, если бы такая функция существовала; то при h, равном а или
Ь, имело бы место неравенство
I \c(g) - c(hg)\2n(dg)<:e\
G
так как при этих h
5 ! с (g) - с (%)'I2 М- (dg) = 2 I Iе (g) I2 И- (dg)-2 Re с * с (h) < e2.
G G
Рассмотрим подмножество Sa группы G, состоящее из приведенных слов,
начинающихся с некоторой (ненулевой) степени а, и аналогично определим
Sb. Введем абсолютно непрерывную вероятностную меру
т(Е)= J |c(g)j2fi(dg).
Е
Тогда имеем
\т{аЕ) - т (Е)\ = J {| с (ag)\2 - | с (g)|2} ji (dg)
< 2е,
так что
т (аЕ) > m (?) - 2е.
Возьмем теперь в качестве Е множества S*a, aSa, a2S%. Тогда т (Sа) + т
(aS%) + т (a%St) > 3т (SI) - 4е. Но т (SV) + т (aSI) + т (a2S3) < m (G) =
1, так что
Ш (Sa) <С "j-1-6,
и аналогичным образом
1,4
250
Замечания
Отсюда в силу того, что Sa [~| Sb = 0 и SI [J St = G, получаем
l=m(G)</n(5*) + /n(5J)<4 + -|-e'
что не может иметь места для достаточно малых е. Это доказывает
невозможность равномерной аппроксимации функции, тождественно равной
единице, функциями вида с *~с (g), где с 6 L2(G).
Такенути [1] изучил Р1-группы и охарактеризовал некоторые из них. (См.
также Дьедонне [1], [2], [3].)
5.1.2. См. Понтрягин [1], стр. 106.
5.1.3. Утверждение в) принадлежит Годману [2].
5.2. В первоначальной форме вторая часть утверждения е) была высказана
Гренандером [5], который предполагал, что группа должна обладать P-
свойством, для того чтобы имела место теорема непрерывности. Лойнес [1]
показал, что это предположение излишне. Первая часть утверждения е)
