Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
= ts = s. Далее, идемпотент s называется примитивным, если не существует
нулевого идемпотента, подчиненного s. Полугруппа 5 называется вполне
простой, если каждый идемпотент примитивен, и для каждого s 6 5
существуют такие идемпотенты и и v, что us = s = sv. Представление Т х X
х Y, |используемое далее в тексте, может быть найдено у Уоллеса [1].
Компактная полугруппа имеет единственный минимальный двусторонний идеал.
Он обозначается К и называется ядром полугруппы 5. Ядро является вполне
простой подполугруппой. Оно может быть представлено в виде
K=nSi5,
г
где i пробегает все идемпотенты полугруппы 5 .
Компактная полугруппа, в которой из us - ut вытекает s = t и из su = tu
вытекает s = t (закон сокращения), является группой.
' Мы будем использовать соотношение 5/5 = 5, где / есть множество всех
идемпотентов, и предполагать, что 55 =5 (см. Кох и Уоллес [1]).
Полезные сведения можно почерпнуть в работе Нума-кура [1], содержащей
среди других вещей и полные-дока-зательства приведенных выше утверждений.
Теоремы 2.3.1 и 2.3.2. а) и б) принадлежат Розенбла-ту [1] и Хеблу и
Розенблату [1]. Теорема 2.3.3 может быть найдена в работе Гликсберга [ 1
]. Рассуждение в доказательстве теоремы 2.3.2. а) принадлежит Клоссу [1].
П. Мартин-Лёф предложил следующее простое доказательство теоремы 2.3.1.
Множество & (5) компактно в ела-
Замечания
237
бой топологии. Пусть Q - произвольная предельная точка последовательности
л". Тогда легки показать, что Q* Р = = Р * Q--Q. Если Q' ¦- некоторая
другая предельная точка, то Q' = Q' * Р = Q' * Рп* = Q' * лп = Q' * Q =
Q, что доказывает наше утверждение.
Если Р имеет предел по Чезаро л, то можно показать, что сложный
пуассоновский процесс Pt = exp* tP обладает свойством Pt я при t со.
2.3.3. Это делается с использованием обычным образом свойства
равностепенной непрерывности (см., например, Данфорд и Шварц [1], стр.
289).
2.3.4. Здесь можно использовать вариант эргодической теоремы о
среднем (см. Данфорд и Шварц [1], стр. 705). Пусть Г - линейный оператор,
отображающий банахово пространство X на себя, такой, что
а) последовательность - (Г + Г2 +Тп) х ограничена,
б) для любого х ? X последовательность хп - ^ (Г + + Г2+. . . . + Тп)
х имеет подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому х, и Тах
сходится к нулю.
Тогда хп сходится к х. Если Т0 обозначает отображение х ->-х, то 7Т0 =
Т0Т = Т\ = Го, I! Г0 || < С. (Условие б) может быть ослаблено.)
Оператор Г0 - оператор проектирования на линейное многообразие {х| Гх =
х} неподвижных точек отображения Г.
Теорема 2.3.1. принадлежит Розенблату [1], у которого читатель найдет
также доказательство того, что s (я) есть ядро полугруппы S.
2.3.5. Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что для любого s
множество sK является идеалом, так как sKS CZ sK, SsK = sSК CZ sK, и оно
содержится в К,
так как sK .= П s^iS а П SiS = К, так что sK = К.
i i
Отсюда вытекает существование единицы и единственного обратного элемента
в К, так что К является группой.
238
Замечания
Теоремы 2.3.3 и 2.3.4 принадлежат Гликсбергу [1] и Розенблату [1J. Укажем
одну очень специальную предельную теорему. Если S - компактная
топологическая полугруппа с нулем 0 (Os = sO = 0 для всех s ?S) и если
О ? s (Р), то Рп* 60. Доказательство предоставляется читателю.
2.3.6. В этой книге мы все время будем встречаться с полугруппами
линейных операторов Tt, t > 0, в которых ТаТъ = Та+Ъ и которые в
некотором смысле непрерывны. Если оператор Tt непрерывен в равномерной
операторной топологии, т. е.
НтЦГд - /1| = 0, hi о
то инфинитезимальный оператор
Л=Пш7^ й(0 п
существует как ограниченное линейное преобразование и Tt = ехр (tA). Если
Tt непрерывен в сильной топологии, т. е.
\\т\\Тпх - х\\ = 0 для любого х?Х,
що
J1 _ у
то существует предел Ah=-~-х для элементов х, образующих плотное
подмножество множества X. Предел А является, вообще говоря,
неограниченным оператором. Тогда мы можем утверждать только, что
Ttx = lim ехр (tAh) х. h].0
Более подробные сведения по этому предмету читатель найдет в книге Хилле
и Филлипса [1].
2.3.7. Нелегко понять, что в действительности означает существование
такого натурального m и насколько это предположение существенно для
дальнейших результатов. Результаты, приведенные в тексте, принадлежат
Хьюиту и Цуккерману [1 ], в работе которых читатель может найти более
подробное обсуждение предельных результатов и бесконечных произведений
элементов стохастической полугруппы.
Замечания
239
3.J. Основы теории топологических групп можно найти в книгах Понтрягина
[1] и Вейля [1].
3.1.!. Мера, инвариантная справа, связана с мерой, инвариантной слева,
соотношением
с точностью до произвольного нормирующего множителя. Действительно, для
любого компактного множества Е a G имеем
I !лЬ)|1№)= S \
g?Eh и?Е и?Е
так что функция множества
Е
инвариантна справа, строго положительна и, следовательно, пропорциональна
v (Е).
Так как А (g) непрерывна и отлична от нуля, то fx (Е) = = 0 эквивалентно
