Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
Это обобщение пространств Lp. Теперь можно рассмотреть случайные
элементы, принимающие значения из ЬФ, и применить общие результаты гл. 6
(см. Бхаруча-Рид [1], [2]).
7.1.!. Для того чтобы убедиться, что PX°.PV вполне определено, заметим,
что случайные элементы х (со) и у (со) могут быть аппроксимированы
(сильно) случайными элементами хп (со) и уп (со), принимающими только
счетное множество значений. Произведение хп (со)-уп (со) определяет
вероятностную меру (также счетнозначную). Так как операция умножения
непрерывна, то хп (со)-уп (со) ->--*х (а)-у (со), и (см. замечания 6.1.4)
отсюда следует, что х (со) • у (со) есть случайный элемент с вполне
определенной вероятностной мерой. Имеем далее
^ f (ху) Рх (dx) Pv (dy) =^f(z)R (dz), ххх х
где R = Рх о Ру для любой ограниченной и непрерывной функции / (х) на X.
Предположим, что имеет место слабая сходимость Рп -*-Р, Qn ->-Q. Тогда,
как и раньше, можно убедиться в том, что имеет место слабая сходимость Рп
о Qn -+p0Q.
7.1.2. Это выражение может напомнить читателю понятие
мультипликативного интеграла. В литературе существует множество
определений таких интегралов, но ни одно из них не кажется подходящим для
наших целей.
7.1.3. Интересно отметить, что теорема 7.1.5 является частным случаем
теоремы 7.1.3. Действительно, условие С[- в этом случае выполняется, так
как
П П
2 Е || Упч || = ~ 2l Е II Ух || = Е || у^ |[ <оо.
V- 1 V=1
Далее, для любого с (Е (0, 1) почти наверное имеет место сильная
сходимость
[сп] [сп]
2 уnv ~ 2 Уу * ^у*9
v~i V=1
Замечания
261
что следует из закона больших чисел в банаховом пространстве. Но тогда
теорема 7.1.3 утверждает, что произведение Yn должно стремиться по
вероятности к случайному элементу ехр т, который здесь сводится к
постоянному элементу.
7.2.J. Относительно этого и связанных с ним утверждений в тексте см.
Хилле и Филлипс [1], стр. 132.
7.2.2. В матричном случае этот результат получен Ферстенбергом и
Кестеном [1], причем они показали также, что в этом случае ^ log || х^х2
. . ¦ уп II действительно сходится почти наверное.
7.2.3. См. Хилле и Филлипс [1], стр. 138.
7.2.4. См., например, Халмош [1], стр. 114.
7.3. Свойства регулярности стохастических операторов, резольвент и т. д.
изучались разными авторами, из которых мы укажем Бхаруча-Рида [1], [2],
Ганша [2], Шпа-чека [1]. Теорема 7.3.1 принадлежит Ганшу.
7.3.!. См. Банах [1 ].
7.3.2. Идея случайных эргодических теорем восходит к Уламу и фон
Нейману; вариант такой теоремы, данный в теореме 7.3.3, принадлежит
Какутани [1]. Интересно следующее ее применение (см. Роббинс [1]). Пусть
G - компактная группа, и пусть случайные преобразования хю определяются
как преобразования gh группы G в G, где h имеет распределение
вероятностей на G. Тогда ха сохраняет меру Хаара, и из случайной
эргодической теоремы вытекает, что
П
Пт 4-2 f(hihz ¦¦¦ М
п-> со
V=1
существует почти наверное. Далре, можно показать, что в этом частном
случае данный предел почти наверное является константой.
262
Замечания
7.4.J. См. Наймарк [1], стр. 164.
7.4.2. См. Наймарк [1], стр. 182.
7.5. Беллман [1] использовал произведения Кроне-кера для изучения
произведений стохастических матриц, в частности для получения моментов
элементов произведения матриц.
7.5.1. Матричнозначные мультипликативные процессы были рассмотрены
впервые Гренандером [3].
7.5.2. Утверждения этого раздела были доказаны в работе Ферстенберга
и Кестена [1].
7.5.3. См. Андерсон [1], гл. 13, и Найквист, Райс и Риордан [1].
Асимптотический спектр стохастических симметричных матриц был получен
Уигнером [1]. Нам хотелось бы добавить следующее замечание. Для того
чтобы непосредственно проверить сходимость функции мощности, упомянутой в
тексте, можно было бы поступить следующим образом. Введем
характеристические функции
СО П
фд(г)= ^ ехр (ilz)dFn{X) = ^i-'2i ехР (iKz).
- оо V=1
Имеем
2S-1
гп XI "(") (iz)p I лЛ.(") z2k Л
фп(г)- 2j М-р р\ Н ^k)\ J '
Р-О
так что при п -> со имеем
Ефп (г) -> 2 с^^ + °(с^-щг) ¦
р=0
Остаточный член может быть при фиксированном z сделан сколь угодно малым,
если взять достаточно большое k. Следовательно,
2 _____
ЕФп(г) -> ф(г)= -i- jj ехр (iXz) у \ -~da -2
Замечания
263
Для любого действительного значения z. Но если ввести Е Fn (X) = Gn (К),
то это эквивалентно
СО
ехр (ггл) dGn (X) ср(г),
- СО
что возможно только тогда, когда
G"(P)-G"(a) 4 I V1
а
так что распределения Gn стремятся к предельному распределению с функцией
мощности
= 4 Vх --г-
Хотя результаты, обсуждаемые в разд. 7.5.3, имеют и независимый интерес,
представляется, что общая теория спектров стохастических операторов
должна использовать более существенные алгебраические свойства
операторов. См. также F. J. D у s о n, A Brownian-motion model for the
eigen-values of a random matrix, J. Math, and Phys., 3 (1962).
7.5.4. См. Уолл [1], стр. 42. Об изучении стохастических интегральных
уравнений см. Бхаруча-Рид [1], [2].
ЛИТЕРАТУРА1)
