Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
также положим по определению sco = cos = со, то Sa будет полугруппой, но
не обязательно топологической, даже если 5 - топологическая полугруппа.
Нечего и говорить о том, что группа теряет групповые свойства при
добавлении к ней со. Это сильно снижает пользу описанной процедуры
(одноточечного компактного расширения).
2.1.2. Более подробное изложение можно найти в книге Халмоша [1].
2.1.3. Действительно, рассмотрим Р как линейные функционалы с нормой
1 в пространстве Lro (S). Тогда L-слабая сходимость есть не что иное, как
слабая *х) сходимость. При этом компактность сР (5) следует из общих
принципов (см., например, Хилле и Филлипс [1], стр. 50). Утверждение это
может быть проверено и непосредственно по аналогии со случаем
действительной прямой с использованием факта существования счетного
базиса.
2.2.1. См. Стромберг [1].
2.2.2. Пусть имеют место слабые сходимости Рп ->Р, Qn Q. Тогда для
любой непрерывной и ограниченной функции / (s) имеем по теореме Фубини
J / (5) Рп * Qn (ds) {st) Pn (ds) Qn (dt) = ^ gn (t) Qn (dt),
s s s s
где
gn(0= \f(st) Pn(ds).
S
Для любого t имеем
gn (t) ->g{t)= 5 f(st)P(ds).
s
l) Слабая * топология в X* в русском переводе книги Хилле и Филлипса [I]
называется Х-топологией. - Прим. перев.
234
Замечания
Но последовательность gn (t) равностепенно непрерывна на любом компактном
множестве С. Действительно, для любого е > 0 можно выбрать компактное
множество Се, такое, что Рп (Се)> 1 - е. Следовательно,
I gn (t2) - gn (ti) \ < 2e sup I f (s) j + max j f (st2) - f (sti) |,
secE
откуда вытекает равностепенная непрерывность. Отсюда и из gn (t) ->-g (t)
с помощью стандартных рассуждений получаем, что эта сходимость равномерна
на С. Следовательно,
^ f (s) Рп * Qn (ds) - f(s)P*Q (ds) = Ц lgn(t) - g(t)) Qn (dt)+ s s
с
+ \ lgn(t) - g(t)\Qn(dt)+'\ig(t)[Qn(dt) - Q(dt)]. s-c s
Все три интеграла в правой части могут быть сделаны как угодно малыми,
так что имеет место слабая сходимость
Рп * Qn р * Q-
Мы не пользуемся систематически тем, что сГ> (S) - топологическая
полугруппа. По-видимому, используя это обстоятельство, можно получить
полезные результаты.
(См. также работу Калианпура [1], в которой рассматриваются подобные
вопросы.)
2.2.3. Интуитивное содержание теоремы 2.2.2 ясно: случайный элемент и
= st полугруппы пробегает в точности s(P)-s(Q), если пренебречь событиями
нулевой вероятности. В компактном случае соответствующее равенство s (Р *
Q) = s (P)-s (Q) было доказано Розенбла-том [1], а для компактных групп
это соотношение отмечалось различными авторами.
2.2.4. Представляется естественной следующая терминология. Рассмотрим
непрерывный однородный процесс Pt, О, выборочные функции которого почти
наверное непрерывны. Такой процесс мы называем броуновским движением на
полугруппе. Распределение вероятностей P?aP(S) называется нормальным
распределением, если оно может быть вложено в броуновское движение Pt,
Замечания
235
Р = Рх. Поскольку мы не изучаем свойства выборочных функций, этот подход
не будет здесь разбираться подробно. Предполагается, что выполнены
следующие свойства:
а) если Р и Q-два коммутирующих нормальных распределения, то Р * Q
есть нормальное распределение; б) если Р - нормальное распределение на
локально компактной группе G и N - нормальный делитель группы G, то
индуцированное распределение вероятностей на факторгруппе F = G/N
является нормальным (см. конец разд. 3.1).
2.3.1. Читатель может предпочесть следующее несколько более ясное
интуитивное определение сходимости по вероятности. Говорят, что случайные
элементы sn с распределениями вероятностей Рп сходятся по вероятности к
постоянному элементу s0, если Рп (N) 1 для любой
окрестности N элемента s0. Для того чтобы убедиться, что это эквивалентно
слабой сходимости Рп к 6So, предположим, что имеет место Рп (N) -у-1.
Если / (s) - произвольная непрерывная ограниченная; действительная
функция на S, то
\f(s)Pn(ds)=^ + I f(s)Pn(ds).
S N S-N
Если выбрать окрестность^ элемента s0 столь малой, что j / (s) - / (s0) |
< e, то первое слагаемое в правой части будет мало отличаться от / (s0),
а второе от нуля, так что
\ / (s)Pn(ds)-^f(s0)= J f(s) 6s0 (ds).
S S
Чтобы убедиться в обратном, возьмем произвольную окрестность N элемента
s0 и выберем непрерывную функцию / (s), такую, что
О</(s) < 1" /(s0)= 1, /(s) = 0 при s?N, используя, |например, лемму
Урысона. Тогда
1=/(S0)<- J f(s)Pn(ds)=* 5 f(s)Pn(ds)<Pn(N)<\, h n
так что Рп (N)
236
Замечания
2.3.2. Напомним читателю некоторые основные понятия теории полугрупп.
Непустое подмножество L CZ 5 называется левым идеалом, если 5Z.cZ..
Аналогично определяется правый идеал. Если / с 5 есть одновременно левый
и правый идеал, то он называется двусторонним идеалом.
Элемент s?S называется идемпотентом, если s-s = = s2 = s. Компактная
полугруппа имеет по крайней мере один идемпотент. Элемент 0 6 5
называется нулем, если Os = s0 = 0 для любого s 6 5 .
Будем говорить, что идемпотент s подчинен другому идемпотенту t, если st
