Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
как большое число параметров делает табулирование затруднительным. В
самом деле, мы имеем k2 параметров для инфинитези-мальных средних
значений и k2{k2 + 1)/2 параметров для инфинитезимальных ковариаций,
всего N = k1 (k2 + 3) /2 параметров. При k = 2 имеем N = 14, и уже для k
= 3 получаем устрашающее число: = 54 параметрам. Это
делает почти необходимым использование аналитического или
аппроксимационного подхода, скажем, выражения решения через
табулированные функции, или применение подходящего разложения в ряд, или
применение какого-либо интегрального представления. Очевидно, что эта
проблема нуждается в дальнейшем изучении.
Прежде чем перейти к другим вопросам, сделаем несколько качественных
замечаний. Для простоты рассмотрим стохастические квадратные матрицы Mh
второго порядка с равными нулю средними значениями, действующие на
векторы х из R2, Ах = х (7+ К) - х (t) ^ Mhx (t). Распределение Ах 6 R2
определяется инфинитезимальными ковариациями
qu{x) = cov [{Mx(t))i, (Mx{t))3],
вычисленными для некоторого x(t) = x, где М-случайная квадратная матрица
второго порядка. Если матрица Q (х) = {qa (х); i, /=1,2} невырождена в х,
то диффузия имеет место во всех направлениях из точки х. Если мы
потребуем, чтобы распределение вероятностей ограничивалось некоторым
подмножеством пространства R2, то матрица Q (х) будет вырожденной при
некоторых значениях х, скажем, на некотором подмножестве 5 . Но М имеет
четыре элемента, так что она может быть представлена в виде
Г
/VI - 2
V = 1
где A v- неслучайные квадратные матрицы второго порядка, и -¦
некоррелированные случайные величины с еди-
214
Гл. 7. Стохастические алгебры
ничной дисперсией, а г < 4. Тогда
Qi] (х) - 2
v=l
так что, если г - произвольный вектор-столбец, то
Г
z*Q(x)z = 2 (Avx, г)2.
V=1
Если эта квадратическая форма обращается в нуль для некоторого
нетривиального вектора г, то диффузия в направлении вектора г не имеет
места. Пусть S - множество значений х из R2, для которых Q (х) является
вырожденной:
S = {х \ det Q (х) = 0},
так что в 5 имеем
(Avx)l (А^х)^
(Avx) 2 (А^х) j
0 = detQ (x) = 2
V, JJ,
(Avx)i (A^x)2 (Avx)2 (А^х)2 (Avx)
V<|1
{Avx)2
(А"х) j
(АцХ) 2
откуда вытекает, что
(Avx)i (Avx)2
(Ацх) i (АцХ)2
= 0
для всех v и (х. Но это - множество однородных уравнений второго порядка
относительно х, так что S может быть изолированной точкой х = 0, одной
или двумя прямыми линиями или всей плоскостью.
Рассмотрим сначала г = 1. Тогда S = R2, и квадратическая форма z*Q (х) z
равна нулю, если (Ах, z) = 0. Диффузия имеет место только в направлении,
параллельном вектору Ах, так что мы приходим к дифференциальному
уравнению для особых кривых
dx2 _ (Ах)2 dxi {Ax)i '
рассматриваемому во всех элементарных учебниках по дифференциальным
уравнениям. Его решения образуют семей-
7.5. Примеры
215
det у4 (л:) =
:0,
ства кривых Са, состоящие из прямых линий, эллипсов, спиралей, гипербол и
парабол различных типов. Если начальное распределение сосредоточено на
Са, то распределенная масса никогда не покидает этой кривой, но может
только диффундировать вдоль нее. Если А вырождена, то мы получаем еще
более вырожденную ситуацию, так как если вектор х аннулирует Ль А^х =0,
то масса, находящаяся в х, остается там неопределенно долго.
Рассмотрим теперь г = 2. Тогда S состоит из точек, в которых
(Aix)1 (А2х) 1 (Aix)z (А2х)2
откуда вытекает, что (A i - АЛ 2) х =0 для некоторого скаляра Я. Для
нетривиального вектора х мы должны иметь det (Л4- ЯЛ2) =0, так что
возможны только два различных значения К. Исключая случай, когда Л4 и Л2
кратны друг другу (Л4 = АЛ2), что соответствует случаю г = 1, мы видим,
что уравнение (Ai - ЯЛ2) х = 0 имеет решения х = аи, где и ? R2 и а -
произвольный скаляр. Когда такая прямая линия является особой в описанном
смысле? Если диффузия может происходить только в направлении и, то мы
должны иметь
0 = (Л^л)2 + (Л2х'1/г)г = а2 (AiUiti)2 -|- а2 (A2uin)2, где п - вектор,
ортогональный и, так что
AiU - \niu,
A2u = |x2u.
Это означает, что Л[ и Л2 должны иметь один или два общих правых
собственных вектора, и мы получим одну или две особые прямые линии.
Для г = 3 или 4 мы получаем аналогичные ответы. Особые кривые имеют место
только тогда, когда у матриц Л v есть общие собственные векторы; в
противном случае распределенная масса заполняет всю плоскость (х =0--
всегда, конечно, особая точка).
Пусть Е CZ R2 есть область, конечная часть которой ограничена особыми
кривыми. Если начальное распределение сосредоточено на Е, то интуитивно
ясно, что никакая часть распределенной массы не покинет Е, Pt (Е) = 1.
216
Гл. 7. Стохастические алгебры
Для того чтобьГ показать это, предположим для простоты, что Е ограничена
двумя лучами Li и L2, выходящими из начала координат. Удобно использовать
полярные координаты q и 0. Пусть лучам и Ь2 соответствуют полярные углы
04 и 02. Легко выписать уравнение Фок-кера - Планка
¦§fP(Q, е; t) = j-^[kl(Q)p] +
