Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
7.3. Стохастические операторы и случайные уравнения 203
откуда следует сходимость. Для двух различных h, 12 6 Z имеем
Е |j dn |[ (tm) Е || Х\Х2 • • • Х[Х2 • • • х?1^2 |i ^
<Q"|| Si -1г||->0,
так что
Е j| dn\ |< Qn-C-^> 0 (С -константа)
при п ->оо, и пр^ел Z не зависит от ?.
Если задана последовательность описанных выше случайных операторов . .
x_t, х0, хи . . то можно образовать последовательность случайных
элементов
\п ~ lim хпхп-\Хп-2 .. . хп-у\,
V-^co
где I - некоторый произвольный начальный элемент. Тогда новая
последовательность принимающая значения из Z, имеет стационарное
распределение вероятностей, и мы можем говорить, что это - стационарное
решение случайного уравнения
Sn+l = Я • ¦ • i 1 i 0, 1 , ...
Можно также отметить, что не существенно то, что Z есть банахово
пространство: это предположение может быть ослаблено, и можно работать с
более общими метрическими пространствами.
Вполне возможно, что последняя теорема может быть обобщена и уточнена. Но
все-таки какое-то условие, похожее на свойство сжатости, видимо,
необходимо для того, чтобы величины 1п сходились. Некоторое внимание было
удедено связанной с этим проблеме: выяснить, когда все стохастические
преобразования являются сохраняющими меру. Это приводит нас к так
называемой случайной эрго-дической теореме, утверждающей не то, что \п
сходятся, а то, что они обладают некоторым средним поведением.
Рассмотрим вероятностное пространство (?2, Р),
и пусть каждому со ? ?2 соответствует некоторое преобразование ха другого
вероятностного пространства (Z, т) в себя. Будем предполагать, что -
сохраняющее меру преобразование, так что ха (В) и хй1 (В) 6 38 z для
любого В 6 $z и т [ха (?)] =т (В). Семейство {ха; со ??2}
204
Гл. 7. Стохастические алгебры
должно быть измеримым в том смысле, что {(со, г) \ хюг (Е ев}е X?BZ-
Введем теперь обычным образом новое вероятностное пространство (0, J?e,
Ре), состоящее из последовательностей 0 = (. . ., со_ь со0, . . .), где
каждая координата со,, имеет распределение вероятностей Р и все
координаты независимы. На 0 имеем преобразование переноса <р,
определенное так, что <р9 •- новая последовательность, п-я координата
которой равна 0п+1. Ясно, что ф есть сохраняющее меру преобразование.
Пусть теперь / (г) - m-интегрируемая действительная функция, определенная
на Z. Образуем среднее
П- 1
= f lXav-iXe>v-2 ¦ • ' Л'<йогЬ
v=0
Уместно рассмотреть произведение пространств с мерами Z х 0 и ввести
преобразование
x(z, 0)= [x%z, ф0].
Это новое преобразование является сохраняющим меру, и можно применить
обычную индивидуальную эргодиче-скую теорему к пространству Zx 0. Так как
v-я итерация преобразования х (г, 0) определяется соотношением
Xv(z, 0)= • • • Хсо/ш/, Фг0],
то имеем
71 - 1
= f [^-координата xv (z, 0)],
v-0
и мы знаем, что почти наверное на пространстве 0 среднее Sn сходится к
некоторому интегрируемому пределу. Применяя теорему 'Фубини, получаем
следующий результат (см. замечания 7.3.2).
Теорема 7.3.3. (Случайная эргодиче-ская теорема.) При сделанных
предположениях существует событие N а(r) вероятности нуль, Р (N) = 0,
такое, что если
0 = (..СО-i, со0, соь . . .)?N,
7.4. Более специальные структуры 205
ТО
п- 1
lim 7Г 2 f lX">v-lXav-2 • • • *"°Z] = f^ п-+со п v 1 v ^
v=0
существует для почти всех z ? Z и f (z) ? Li (Z).
Вообще говоря, нельзя утверждать, что предельная функция / (г) почти
наверное является постоянной.
7.4. Более специальные структуры
Если наложить на банахову алгебру X дополнительные требования, то
относительно распределений вероятностей на ней можно, конечно, сказать
несколько больше. В настоящее время такая специализация не привела к
интересным результатам, может быть, потому, что, идя прямым путем, мы
приходим к хорошо известным структурам.
Можно было бы потребовать, чтобы банахова алгебра, кроме операций
сложения, умножения и умножения на скаляр, обладала бы четвертой
операцией - делением. Более точно, если предположить, что X - полная
нормированная алгебра с делением, так что х~х существует и является
непрерывной функцией от х при х ф 0, то X изоморфно полю комплексных
чисел (см. замечания 7.4.!). Но'вряд ли можно ожидать, что распределения
вероятностей на комплексной плоскости представят увлекательный предмет
для исследования. Возьмем, например, предельные теоремы. Если записывать
комплексные числа в полярных координатах х = ге*ф, то
XiX2 . . . xn = rir2 . . . rn exp [i (ф! + фг+ • • • +фп)].
Предполагается, что множители xv независимы и имеют одинаковые
распределения. Пусть F обозначает совместное распределение log г = g и ф.
Нужно рассмотреть сложение на коммутативной группе Rl х Т1, состоящей из
элементов (q, ф). Характеры имеют, конечно, вид exp (iuq + + ivф), где и
- действительное, a v - целое число. Предположим, что ф имеет
нерешетчатое распределение, так что | Е exp (ivф) | < 1 для v ф 0. Введем
преобразование
206
Гл. 7. Стохастические алгебры
Фурье
оо 2Л
