Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
ОЭ
х(0== 2 JT{t), J0 (0 = е-
г=яО
Вернемся на минуту к новому условию непрерывности С2. Его выполнение
приходится проверять, но можно заметить, что если норма в X вводится с
помощью скалярного произведения (х, у), то С2 может быть несколько
упрощено. Действительно, если R' = /' х Г2 X . . . X Гг и R" = = /" х Г,I
X ... х /г - два непересекающихся параллелепипеда в Sr, то
Е (*/(/?'), y{R")) = t{y(K)y{Q ... У (Jr), у 01) у Од ...
... У{П)).
По крайней мере для некоторого i должно иметь место /'; П /" = ф. Если
теперь ожидаемое значение процесса у равно нулю, то указанное скалярное
произведение равно нулю. В таком случае нужно только проверить выполнение
условия С2 для произвольного параллелепипеда а.
Теорема 7.1.2. Пусть у (t) - однородный мультипликативный процесс,
принимающий значения из банахова
7.1. Аддитивные и мультипликативные предельные теоремы 193
пространства X, образующего топологическую алгебру с единичным элементом.
Если у (t) удовлетворяет условию непрерывности С2, то однородный
мультипликативный процесс х (t) может быть единственным образом
определен, как было указано выше.
Теперь мы можем выводить мультипликативные предельные теоремы из
соответствующих аддитивных теорем. Рассмотрим треугольную
последовательность случайных элементов, принимающих значения из X,
У ш
Уг\, У гг,
У3ii УзгI Узз>
В каждой строке элементы предполагаются независимыми и одинаково
распределенными. Как и раньше, мы будем иметь дело с двумя случаями,
соответствующими методам Lt (X) и L2 (X). Нам опять понадобится условие
непрерывности, но выраженное в терминах величин ynv. В суммах,
фигурирующих в условиях" С4 и С2, заменим множители вида у (tv) -у (^v-i)
величинами ynv и выпишем соответствующие условия С' и C'J. Сначала
возьмем простую форму
71
С] • 2 Е j J Уп\ || ^ ^ ^ 1
v=l
так как вторая выписывается более сложно.
Теорема 7.1.3. Пусть ynv принимают значения из банаховой алгебры X и
удовлетворяют условию С'. Пусть у (t) - аддитивный однородный процесс,
удовлетворяющий условию Ci, и такой, что для каждого с между 0 и 1
распределения величин
[сп]
Ли = 2 Упх
v=l
слабо сходятся к распределению величины у (с). Тогда распределения
величин
\п - (е + Уni) (е + Ут) ¦ ¦ ¦ (е + Упп)
194
Гл. 7. Стохастические алгебры
слабо сходятся к распределению величины х (1), где х (t) - однородный
мультипликативный процесс, связанный с у (t).
Доказательство. Имеем [ L = e + S^) + S^)+ . ..
I х (1)= е Si + S2 -f- . .. -4- Sn -f- .. .,
где
S<")= S Unv,
V = 1
I = 2 УпуУпц,
I
I.....................
и
Si = ^ dy(t) = y( 1),
0
Sz= ^ dy ^ dy (s2),
0<si<s2<l
Известно, что при использовании Li-топологии на X произойдут только
незначительные изменения, если оборвать ряд для л: (1) на индексе
суммирования п = п0 при достаточно большом па. Мы знаем также, что если
заменить каждое слагаемое этой конечной суммы суммой Римана - Стильтьеса,
то происходящее от этого изменение невелико, если разбиение интервала (0,
1) взято достаточно мелким. То же самое можно проделать с выражением для
оборвать сумму и каждое слагаемое в новой сумме заменить суммой,
соответствующей разбиению 0 < [n^J <
< [nt2] < . . . < п. Но распределение каждой такой суммы слабо
сходится к соответствующей величине, образованной приращениями процесса
у. Используя независимость величин ynv (и приращений процесса у),
получаем высказанный результат.
Мы можем использовать это же рассуждение для того, чтобы получить
следующий альтернативный результат.
7.1. Аддитивные и мультипликативные предельные теоремы 195
Теорема 7.1.4. Пусть величины ynv принимают значения из банахова
пространства и топологической алгебры X и удовлетворяют условию С'. Пусть
у (t) - аддитивный однородный процесс, удовлетворяющий условию С2. Тогда
выполнено утверждение предыдущей теоремы.
Две последние теоремы имеют совершенно общий характер. Более специальным
результатом является следующий.
Теорема 7.1.5. (Мультипликативный закон больших чисел.) Пусть yv -
независимые, одинаково распределенные элементы банаховой алгебры, такие,
что Е || г/i || < оо. Тогда
^ = (е + 4~^) (е + 4^2) ••• (е + '7Гу0
сильно сходится по вероятности к элементу Y = exp т, где т^Еу^
Доказательство. Имеем
'yn = e + Si"> + S?n)+...+S<">,
где
( s<;"-± 2
I l^v^n
j s*n) = i 2 у*)"
l И т. д.
Но мы знаем, что с вероятностью единица (см. разд. 6.4) имеет место
сильная сходимость 5-ут. Рассмотрим
П
где
¦v-1
Но с вероятностью единица
5^> = т + бц, (j бц!! -> О,
196
Гл. 7. Стохастические алгебры.
так что
Ц=1 (Х=1
Следовательно, с вероятностью единица
S<"> = "f- + Sn, || 6Л II -> 0.
Вообще с вероятностью единица имеет место сильная сходимость
k\
Теперь надо дополнить это рассуждение простым использованием
равномерности. Имеем
II^||2 IIу*чii'liУкъii iiykvII'
1 v^n
так что
Комбинируя это со сказанным выше, мы видим, что для любого е> 0 имеет
место сходимость P{(lYn- при п оо, где у - элемент
, т2 , т? , - v
