Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 6.6.1. Если dn независимы, одинаково распределены со средним
значением т и каждая реализация этой последовательности равностепенно
непрерывна в начале координат, то
N
lim ~КГ 5 dn = m
N->со iV ,
ri-1
с вероятностью единица.
Относительно доказательства см. замечания 6.6.1.
Эта теория находится еще в начальном состоянии.
6.7. Примеры
Легко проиллюстрировать понятие математического ожидания в банаховом
пространстве. Пусть, например, Х=с -
182 Г л. 6. Стохастические линейные пространства
множество всех сходящихся последовательностей х - = (хи х2, . . ¦)
действительных чисел с нормой, соответствующей равномерной сходимости.
Предположим, что
Е || х ]1 = Esup | хп | < со.
П
Тогда среднее значение случайного элемента х есть просто постоянный
элемент т из X с координатами т = = (ти /и2, . . .), тп = Ехп. Так как
предел lim хп
П
существует почти наверное и так как случайная величина sup хп имеет
конечное математическое ожидание, то lim тп
П П
существует, так что т ? с. Этот элемент из с должен быть математическим
ожиданием х, так как двойственное пространство с* = Zt состоит из
суммируемых последователь-
ностей у = (г/о, У1, У г, • • •), 2 1^1 <°°- Следова-
о
тельно, для любого у ? с* имеем
y(m) = y0limmn+ ^\уптп = Е(^у0 lim*" + ^ УпХп)=Еу (х), 1 1
что и устанавливает справедливость утверждения. Возьмем теперь X = 12.
Если
Е || х || = Е у 24<оо, 1
то вектор т = (ть /л2, . . .) с тп = Ея/г принадлежит /2; действительно,
для любого N имеем
N N N 1
2m? = E2>n*"<(2/nn) Е I) л: |1,
1 1 1
СЮ
так что 2 тп <°°. Но для любого у = (уи у2, . . .) 6 1
е i\ = i2
со со со
У (т) = 2 уптп = 2 УпЕХп = Е 2 г/А = Е"/ (л:),
1 1 1
6.7. Примеры
183
где использовано неравенство Шварца. Следовательно, Ех = т.
Наконец, возьмем X = С (0, 1) - множество непрерывных действительных
функций на интервале (0,1) с нормой || лг|| = шах \ х (t) \ , х ~ х (t).
Если
Е || х || = Е шах | х (t) | < оо,
O^f^l
то функция т - т (t) = Ex (I) принадлежит X = С (О, 1), так как
lim | т (t + h) - rn (t) | ^ lirnE \x(t-\-h) - x(t) | = 0.
, /i->0 h-> 0 "
Так как С* состоит из ограниченных мер [i на (О, 1), то для любого [х 6
С* имеем
1 1 1
[i(m)= ^ m(t)\i(dt)= ^ Ex(/) [i (dt) = E ^x(^)[i(c^)
= E[i(;e),
0 0 0
так что Ел; = т.
В этой связи можно отметить, что, так как любое сепарабельное банахово
пространство изометрично и изоморфно некоторому подпространству
пространства С (0, 1) (это хорошо известная теорема Банаха
и Мазура, см.
Банах [1]), теория вероятностей на сепарабельном банаховом пространстве
имеет дело со строго непрерывными случайными процессами и потому
представляет специальный интерес.
Наиболее непосредственными, пожалуй, наиболее важным из приложений этой
главы является теория случайных про-цессов. Случайный процесс обычно
определяется как функция х (t, со) двух переменных - времени t и
случайного параметра со, при некоторых предположениях измеримости. В
линейной теории случайных процессов x(t, со) обычно рассматривается как
множество измеримых функций xt (со) (случайных величин) переменной со,
причем каждому значению t соответствует одна такая функция. Если эти
функции переменного со могут быть идентифицированы с элементами
некоторого банахова пространства, то процесс представляет собой кривую с
параметром t в этом банахо-
184 Гл. 6. Стохастические линейные пространства
вом пространстве. Конечно, можно идти и обратным путем. Для каждого со мы
получаем функцию л:ш(/) действительного переменного t. Пусть теперь эти
функции принадлежат некоторому банахову пространству. Тогда процесс
состоит из распределения вероятностей, определенного на банаховом
пространстве, что и было исходной точкой настоящей главы.
Пусть хю(t) - случайный процесс, определенный с помощью распределения
вероятностей на гильбертовом пространстве L2 (0, 1), причем
xa(i) = m(i) + ya(i):
Здесь т (t) -фиксированный элемент из Ь2 (0, 1), уа = = ую (t) имеет Е ||
уа ||2 < оо и Еуа = 0. Рассмотрим теперь последовательные независимые
наблюдения процесса хю (t) и обозначим выборочные функции через х1 (t),
х2 (/), . . . . . . , хп (t). Образуем среднее
П V= 1
также являющееся элементом гильбертова пространства. Тогда из теоремы
6.4.2 известно, что, если исключить событие вероятности нуль, оценка т*
сильно сходится к т при п, стремящемся к бесконечности. Другими словами,
функция т (t) имеет состоятельную оценку - среднее т* (/). Используя
теорему 6.5.1, можно изучить сходимость распределений среднего т*.
Очевидно, что этот подход полезен при статистическом изучении
стохастических процессов.
Рассмотрим теперь нечто аналогичное. Если F (х) - непрерывная функция
распределения действительной случайной величины х, то делается обычное
преобразование у - F (х) к равномерному распределению. Имея выборку у и
г/2, • • •. Уп из п наблюденных значений, образуем эмпирическую функцию
распределения
П
р* ЛЛ__Число значений yv^.u__ 1 ЛЛ
п - 7Г 2л 6!/vW'
