Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
как и в случае действительной прямой. Но множества U образуют семейство
единственности и, следовательно, Р однозначно определено.
Прежде чем двигаться дальше, отметим тот простой факт, что нам не нужно
искать идемпотентные меры в линейном пространстве, так как таких нет (за
исключением тривиальной б0). Действительно, если Р ? еТ5 (X) -
нетривиальная идемпотентная мера, то должно существовать такое х* 6 X*,
что Р {х* (х) ф 0 } > 0. Рассмотрим преобразование Фурье
Р (tx*) - Е exp (tx* (*))
160 Гл. 6. Стохастические линейные пространства
для действительных значений t. Так как Р идемпотентна, то (Р)2 = Р, так
что Р (tx*) может принимать только значения О и 1. Но это непрерывная
функция переменной t, равная единице при t = 0. Следовательно,
характеристическая функция случайной величины х* (х) тождественно равна
единице, так что в противоречии с предположением, ** (х) = 0.
Теперь мы встречаемся с существенным затруднением. Нам, хотелось бы,
конечно, утверждать, что из Рп (х*) ->¦
Р (х*) вытекает слабая сходимость Рп-*-Р. На следующем примере можно
убедиться, что, вообще говоря, это не так. Пусть xlt х2, х3, ... -
последовательность элементов из X, слабо (но не сильно) сходящаяся к
элементу х0. Пусть Рп приписывает меру 1 элементу хп. Тогда ** (Хп) -+х*
(х0) и ехр Их* (*")] =Рп (х*) ехр [ix* (*0)] = = Р0 (х*)длявсех х* 6 X*.
С другой стороны, пусть f (х)- непрерывная и ограниченная функция, равная
1 в х - х0 и нулю вне шара S е = {х \ || х - лг0 II <1 е}, так что для
малого е найдутся сколь угодно большие п, для которых
jj f(x)Pn(dx) = 0,
X
и, следовательно, *\f(x) Рп (dx) не сходится к (х)Р0 (dx) =
х х
= 1. Если X - гильбертово пространство 1г, то можно выбрать хп как
единичный вектор, направленный вдоль п-й координатной оси; это ярко
иллюстрирует трудности, вызванные бесконечномерностью пространства. Чтобы
преодолеть это, заметим следующее (см. замечания 6.2.±).
Каждое Р 6 еР (X) является компактной мерой: для любого е > 0 существует
такое компактное множество С а X, что Р (С) > 1 - е. Действительно,
выберем последовательность xi, х2, х3, . . ., плотную в X, и образуем
шары Sn = {х\ \\ х - хп || < 1 Ik} с центрами в точ-ках хп и радиусами
l/k. Выберем /п4 столь большим, что
mi
Р{ U Sn} >1 - е.
П= 1
6.2. Анализ Фурье в банаховом пространстве 161
Затем выберем т2 столь большим, что
7П1 т<>
^{(U si)П( U s*")}>i-e,
71=1 П= 1
и т. д. Множество
СО т'
с- ndJS*)
i -1 п=1
компактно и имеет меру Р (С) > 1 - е.
Введем теперь
Определение 6.2.2. Вероятностные меры Рп ? & (S) называются равномерно
компактными, если для любого положительного е существует такое компактное
множество С CZ X, что Рп (С) > 1 - е для всех п.
Тогда справедлива
Теорема 6.2.2. Для того чтобы имела место слабая сходимость Рп -"- Р,
необходимо и достаточно, чтобы меры Рп были равномерно компактны и чтобы
Рп (х*) -"--"-Р (х*) для всех х* 6 X*.
Доказательство предоставляется читателю. Само собой разумеется, что
выполнение предположения равномерной компактности в теореме 6.2.2 может
оказаться трудно проверяемым, что ограничивает полезность этой теоремы.
Для гильбертова пространства X = 12 достаточным является следующее
условие (см. замечания 6.2.2). Пусть х = (хи х2, . . .). Введем величину
со
#^ = supE [2-4] •
п N
Заметим, что верхняя грань берется по Рп.
Теорема 6.2.3. Если Рп ? З3 (h) удовлетворяет условиям
1) lim Rn = О,
2) Рп(х*) ~>Р (х*) для всех х* ? X*, то имеет место слабая сходимость
Рп Р.
162
Г л. 6. Стохастические линейные пространства
Доказательство. Рассмотрим компактное множество
Здесь выбрана возрастающая последовательность натуральных чисел
+оосА\ = 1 и последовательность поло-
жительных чисел >-оо так, что
и применима теорема 6.2.2.
Следующая трудность возникает при попытке обращения утверждения 4)
теоремы 6.2.1. Это обращение не имеет места без дальнейших ограничений.
Действительно, рассмотрим функцию
Эта функция непрерывна в сильной топологии и положительно определенная
(как и нормальные характеристические функции в конечномерных
пространствах). Если ф соответствует мере Р на 12, то распределения
координат xv = (х, ev) должны быть независимыми случайными величинами N
(О, 1), распределенными нормально. Случайные величины
очевидно сходятся по вероятности к + со при п-> оо. Но тогда Р {\\ х [j <
R} = 0 для любого R, что невозможно. Можно было бы предположить, что
неприятности вызваны использованной формой непрерывности. Замена силь-
СО
с= п
где
оэ
N
k
со
2 lhRNh < 6.
Но тогда
СО
со
1 - рп (С)=рп(с*) < 2 Рп (П) < 2 ihR*h < в,
k=l k=t я
Ф (•**) = ехр ^ - у II х* !12 1 > x*el2-
6.2. Анализ Фурье в банаховом пространстве 163
ной сходимости слабой не приводит к успеху, что можно показать,
модифицируя приведенный выше пример.
Подходящей формой сходимости является сходимость, соответствующая
окрестностям
(Sr\ **)<1
для произвольных S-операторов. Будем называть это S-топологией (см.
замечания 6.2.3).
