Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
п п п
- 2 ^ = + - 2 xv)-
V - i V = 1 V = 1
Первое слагаемое в правой части сходится почти наверное к Е Тех, а норма
второго слагаемого не превосходит е. Выбирая теперь последовательность еь
е2, . . . |0, легко завершаем доказательство.
Могут представлять интерес и другие типы сходимости, как, например,
следующий.
Теорема- 6.4.3. (Сходимость в среднем степени а.) Пусть х1г х2, ... -
последовательность независимых и одинаково распределенных случайных
элементов в банаховом пространстве X. Если Е II х |[а < оо, 1 < а < оо,
то
lim Е \\х - т\\а = 0.
Tt->со
6.5. Центральная предельная теорема
Линейная структура рассматриваемого пространства X делает возможными
формулировку и доказательство аналогов центральной предельной теоремы.
Теорема 6.5.1. Рассмотрим последовательность Xi, х2, х3, ... независимых
и одинаково распределенных случайных элементов в гильбертовом
пространстве X. Предположим, что_Е || х [|2-<оо, и введем среднее
значение Ех = т и ковариационный оператор S. Тогда нормированный
случайный элемент
71
уп = -т= У} (xv - m)
V " ГГ,
6.5. Центральная предельная теорема 179
имеет распределение Рп, сходящееся (слабо) к нормальному распределению в
X со средним значением, равным нулю, и ковариационным оператором S.
Доказательство. Используем преобразование Фурье Рп (х*). Для заданного х*
это практически то же самое, что обычная характеристическая функция
случайной величины:
П
(х*,уп)=-(**' xv - m)-
П v=l
Но из классического случая известно, что предел характеристической
функции этих случайных величин имеет вид
Рп (х*) -> ехр jD(x*, xv-т) J = ехр [ - ~(Sx*, **)] .
Чтобы применить теорему 6.2.3, нужно проверить выполнение условия 1) этой
теоремы. Записывая уп = (у\, у\, . . .), имеем
СО со
Е2 ("/")* = S Svv
v=N v=/V
(ковариационный оператор должен быть S-оператором), так что
СО
limi?jv = lim У Svv = 0,
iV-> оэ /V-> оо
v-N
что доказывает наше утверждение.
Можно также доказать следующую теорему (см. замечания 6.5.). [
Теорема 6.5.2. Пусть хи х2, х3, ... - независимые и одинаково
распределенные случайные элементы в рефлексивном G-пространстве с
базисом. Предположим, что Е j| л: ||2 С оо, и обозначим Ех = т. Тогда
распределение
180 Гл. 6. Стохастические линейные пространства
вероятностей нормированной величины уп (определенной в предыдущей
теореме) сходится (слабо) к нормальному распределению.
6.6. Стохастические распределения Шварца
Пусть Ф - множество всех бесконечно дифференцируемых функций на R1,
равных нулю вне компактных множеств, a D - множество распределений Шварца
х) на R1. Предполагается, что основные факты относительно этих
распределений читателю известны.
Для того чтобы ввести вероятностные меры наОи работать с ними, мы не
можем просто применить теорию, изложенную в этой главе. Верно, что D
имеет линейную структуру, но оно не является банаховым пространством.
Необходимые изменения имеют некоторый интерес и будут коротко здесь
описаны.
Пусть 3) есть сг-алгебра, порожденная множествами вида {d I d (ф) < с}
aD, где ф ? Ф и с ? R1 произвольны.
Определение 6.6.1. Под стохастическим распределением Шварца понимается
величина, принимающая значения изО в соответствии с вероятностной мерой,
определенной на 3).
Непосредственным следствием этого .определения является то, что если di и
d2 - два стохастических распределения Шварца, то произвольная линейная
комбинация Cidi + c2d2 также является стохастическим распределением
Шварца. Также если dn, п = 1,2, ... - последовательность стохастических
распределений Шварца, сходящаяся почти наверное (в топологии Шварца), то
ее предел также является стохастическим распределением Шварца. Любая
производная Dnd стохастического распределения Шварца является
стохастическим распределением Шварца, что ясно из соотношения Dnd (ф) =
(-1 )nd (Dnф).
х) То есть обобщенных функций по принятой в русском языке терминологии.-
Прим. ред.
6.7. Примеры
181
Определение 6.6.2. Говорят, что стохастическое распределение Шварца d
имеет среднее значение т ? D, если Ed (ф) = т (ф) для каждого ф ? Ф.
Очевидно, что если dj и d2 имеют средние значения
и т2, то линейная комбинация + c2d2 имеет среднее значение + сгт2. Кроме
того, если Ed = m, то п-я производная dn распределения d имеет среднее
значение Dnm\ действительно,
(- 1 ),г Dnm (ф) = т (DnФ) = Ed (D" = (- 1)" ЕD'\d (q>),
так что ED"d = DnEd = Dnm.
Закон больших чисел может быть сформулирован следующим образом.
Рассмотрим последовательность независимых (независимость определяется
очевидным образом) и одинаково распределенных стохастических
распределений Шварца dit d2, d3, ... со средними значениями Edn - т. Мы
требуем, чтобы для каждой реализации эта последовательность была
равностепенно непрерывна в начале координат: для любой последовательности
фг ? Ф, такой, что фг -vO при i -у оо, и для любого положительного е
имеем для достаточно больших значений i
\ dn (фг) j 5% е для всех п.
Тогда можно получить следующую теорему.
