Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 55

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 82 >> Следующая

v=i
где еу (и) равно 1, если г/< и, и 0 в противоположном случае. Величины еу
(и) являются случайными величинами
6.7. Примеры
185
В Z-2 (0, 1) И
Е е(и) = и,
Е Н е (ы)
12_________
2
Таким образом, F* (и) ? Ь2 (О, 1) сходится почти наверное по норме к
истинной функции распределения и. Из теоремы 6.5.1 можно вывести, что
если / (г) - непрерывный функционал, определенный в Ь2 (О, 1) и
принимающий действительные значения, то распределение случайной величины
сходится к распределению величины / (Z), где Z есть случайный элемент в
гильбертовом пространстве, имеющий нормальное распределение. Среднее
значение величины Z равно нулю, а ее ковариационный оператор S
определяется соотношением
где z* = z*(u)?L2( О, 1) и К (и, y) = min(", v) - uv.
Сходимость эмпирических функций распределения может быть изучена более
общим образом. Мы можем использовать другие топологии при установлении
сходимости. Можно попытаться также перенести этот результат на более
общие пространства, чем действительная прямая. В этом направлении были
получены некоторые результаты (см. замечания6.7). Пусть S -полное и
сепарабельное пространство с метрикой d. (s', s"). Вероятностная мера Р
определена на борелевских множествах из S, и мы требуем,
чтобы \ d (s0, s) Р (ds) <оо. Произведем п независимых
наблюдений sb s2, . . ., sn с распределением Р и образуем вероятностную
меру
1 1
о о
П
\
Как и выше, можно сказать, что Р* аппроксимирует Р,
186 Гл. 6. Стохастические линейные пространства
если п достаточно велико, и это может быть следующим образом превращено в
утверждение относительно состоятельной оценки. Пусть F - множество
действительных функций / (s) на S, таких, что
supiJi(JbmL<00.
d(s',s")
Очевидным образом вводя в F норму, получим банахово пространство. Можно
убедиться в том, что множество функций вида Р* - Р принадлежит некоторому
подпространству Ф банахова пространства F*, и мы можем теперь применить
различные формулировки закона больших чисел из разд. 6.4. Отсюда следует,
например, что почти наверное || Р* - Р|| ->- 0 при п ->- оо по норме в Ф.
В частном случае S = R1 получаем
h~+cc.
при условии
lim ? \F*(y) - F(y)\dy = 0
h->сс. J со
со
^ \y\dF (у)< со.
Глава 7 СТОХАСТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
7.1. Аддитивные и мультипликативные предельные теоремы
В последней главе мы предполагали, что наши случайные элементы принимают
значения из сепарабельного банахова пространства X, и использовали
линейные свойства пространства X для формулировки и доказательства
результатов. Теперь мы предположим, что X образует сепарабельную
топологическую алгебру. В этой алгебре установлена непрерывная бинарная
(не обязательно коммутативная) операция умножения ху, х и у ? X. Пусть х
и у - независимые случайные элементы из X; тогда можно образовать новый
случайный элемент 2 = ху. Обозначая соответственные распределения
вероятностей Рх, Ру, и Рг, мы видим (см. замечания 7Л-\), что Pz есть
вполне 'определенная вероятностная мера.5 Будем [писать Pz = Рх о Ру.
Ясно, что мы можем изучать задачи, выраженные в терминах o-операции, так
же как мы изучали аналогичные^ задачи в терминах *-операции.
Более существенно, пожалуй, выяснить логические взаимоотношения между
этими двумя типами результатов. Для определенности укажем на одну
особенно важную задачу. ^Если Р[п\ Pty, . . ., P(nn)-вероятностные меры,
принадлежащие (X), то можно образовать два новых распределения
вероятностей
Qn = Mn>*P(2n>*
Rn = P[nKp<?lK ... oPin\
Если можно установить предельные законы для одного из этих распределений
Qn или Rn, то что можно утверждать относительно другого? Часто проще
иметь дело с Qn, так как сложение в алгебре коммутативно, и это
возвращает
188
Г л. 7. Стохастические алгебры
нас к задачам в банаховом пространстве, подобным изученным в гл. 6. В
этом разделе мы докажем несколько полезных соотношений указанного типа.
Начнем с терминологии. Рассмотрим случайный процесс х (t), 0< / < оо,
принимающий значения из X и имеющий распределения вероятностей Pt ? &
(X). Этот процесс должен иметь независимые "приращения" (в аддитивном или
мультипликативном смысле), и распределение вероятностей приращения должно
зависеть только от длины соответствующего интервала времени. Если имеет
место случай независимых приращений, такой, что Ps * Pt = Ps+t', s, t >
0, то {Pt} или x (t) называется однородным аддитивным процессом. Если мы
имеем дело с независимыми мультипликативными приращениями, такими, что Ps
о Pt = = Ps+t, s, > 0, то {Pt} или х (t) называется однородным
мультипликативным процессом. В дополнение мы наложим еще на процесс
некоторое условие непрерывности.
Предположим сначала, что пространство X - банахова алгебра, так что его
норма удовлетворяет условие. II ху || < || х INI У II, и X имеет
единичный элемент е. Пусть у (t) - однородный аддитивный процесс,
принимающий значения из X и удовлетворяющий условию непрерывности
Ci :2E||"/(fv)-"/(fv-i)KM<co
V
для любого разбиения t0 = 0, tit t2, . . . , ^i-i> t = tn заданного
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed