Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
\n = Ivn = log 11-^1 ¦ • • *v*v+l • • • Xvjl [J ^
[4" ^g H*1 ••• *v||+4'l0gll-*:v+1 -*2v||+ •••
••• +-^T log|U(M.-i)(v+l)
- E log ||*i ... *v |1
200
Г л. 7. Стохастические алгебры
почти наверное при -у оо. Правая часть близка к г для достаточно большого
v. С помощью стандартного рассуждения можно справиться и со значениями п,
не имеющими вида vfi, и убедиться, что почти наверное lim Ъп < г.
П
Введем теперь функцию
71
= 1о§ . . . хп\\.
1
Так как \\xt ... хп (| < || хх || . . . || хп |(, то величины fn
неотрицательны.^Но
Еfn = Е log || Xi || - ~ ап Е log Ц xt || г,
и можно применить лемму Фату (см. замечания 7.2.4). Из нее вытекает, что
величина / = lim /" = Е log || д^Н -
___ П
- lim 1,п имеет конечное математическое ожидание и что
71 ___
Е/ = Е log j] Xi || - Е lim < lim E/n = E log |] Xi || - r,
71 П
так что E lim > г. Но уже известно, что с вероятностью
___П ___
единица lim < г, так что lim = г почти наверное,
П П
что и завершает доказательство.
7.3. Стохастические операторы и случайные уравнения
Пусть Z-банахово пространство. Рассмотрим множество X всех ограниченных
линейных преобразований пространства Z в Z. С операторной нормой
множество X образует банахову алгебру. Введя в X вероятностную меру Р,
как в предыдущем разделе, естественно говорить об элементах X как о
стохастических операторах. Можно изучать обратный элемент дг1, если он
существует, спектральные свойства операторов х и т. д.
Более общим образом можно исходить из полного метрического пространства
Z, в котором введена метрика q (zj, z2), и рассматривать множество X
преобразований х пространства Z в Z. Если ввести вероятностную меру в X
так, чтобы для любого заданного z ? Z элемент хг был измерим по Борелю,
то снова можно говорить о стохастическом
7.3. Стохастические операторы и случайные уравнения 201
операторе, хотя мы и можем выйти за пределы банаховой алгебры. При
изучении резольвент и т. п. необходимо доказательство различных
утверждений измеримости, но это не будет рассматриваться в тексте (ссылки
см. в замечаниях).
Важный частный случай последнего типа получаем, когда
X состоит из равномерно сжатых преобразований, т. е. таких, что для
некоторого с, 0 <с -< 1, и для всех х 6 X выполняется неравенство
q(xzj, xz2)<cq(z1, z2).
Рассмотрим случайное уравнение xz = z. Имеет место следующий
стохастический вариант банаховой теоремы о неподвижной точке.
Теорема 7.3.1. Пусть X состоит из равномерно сжатых преобразований
полного сепарабельного метрического пространства Z в Z. На X имеем
вероятностную меру, такую, что xz есть измеримый по Борелю случайный
элемент. Тогда существует однозначно определенный измеримый по Борелю
случайный элемент ? со значениями из Z, удовлетворяющий случайному
уравнению х\ = Это решение может быть получено итерационным процессом,
исходя из произвольного измеримого по Борелю случайного элемента
- ^2t х%2 = ?з"
.¦'"Ьп - Ьп+Ь
Тогда почти наверное ? = lim
П
Доказательство. Существен только вопрос об измеримости. Пусть zj, z2, ...
есть всюду плотная последовательность в Z. Образуем, исходя из
сферических окрестностей, подмножества
202 Г л. 7. Стохастические алгебры
Определим теперь стохастический оператор xnz, где г - заданный случайный
элемент, соотношением
xnz = xzi, если z?Ain.
Но отсюда вытекает, что событие, заключающееся в том, что xnz принимает
значение из борелевского множества В, есть сумма событий xzj 6 В (если г
? Ajn) при /=1,2, ... . Заметим, что события Ajn не перекрываются при
фиксированном значении п. Следовательно, хпг и их предел хг обладают
желаемой измеримостью по Борелю. Теперь можно применить это к x|b х\2, .
. . , и так как их предел | существует почти наверное в силу теоремы
Банаха о неподвижной точке (см. замечания 7.3.j), то утверждение
доказано.
Так, мы приходим к решению путем итераций стохастического оператора. Что
будет, если образовать произведение независимых стохастических
операторов, аналогичных типу, описанному выше? Этот вопрос возникает в
связи со многими прикладными задачами, но следующую теорему можно
воспринимать только как первую попытку подойти к решению и надо ожидать
более сильных результатов,
Теорема 7.3.2. Пусть Z - банахово пространство, и пусть множество X
состоит из операторов, отображающих Z в Z и таких, что элементы х
удовлетворяют соотношению
II (XZi-XZz) |1 < Q (х) || Zi - z21|, где q (х) - случайная величина с
математическим ожиданием Q, меньшим единицы, и Е || xtx2 . . . хп1 ||
равномерно ограничено для любого фиксированного |. Возьмем независимые
случайные элементы хи х2, . . . из X и образуем случайные элементы |" =
х±х2 ... хп\. При п -"-оо случайные элементы \п сходятся в среднем Lj к
случайному элементу ?, не зависящему от начального элемента |.
Доказательство. Образуем для произвольного п и h > 0 разность |"+/1 - |n
= dn,h. Она имеет норму
II d-л, h [I = |[ X±X2 . . . XnXn+i . . . Xn-i-hlj, х^х2 . .. хп?, |j
< Q (Xi) Q (Х2) . . . Q (хп) ¦ || Хп+1Хп+2 . . . Xn+hl - |||,
