Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 6.2.4. Пусть ср (х*) - комплекснозначная функция переменного х*
на гильбертовом пространстве X*, удовлетворяющая условию ф (0) = 1. Для
того чтобы Ф (х*) была преобразованием Фурье Р (х*) некоторого Р 6 & {X),
необходимо и достаточно, чтобы ф была положительно определенной и
непрерывной в точке х* = 0 в S-топологии.
Доказательство необходимости. Для Р 6 # (X) выберем компактное множество
С С X такое, что Р (С) > 1 - е. Тогда
| 1 -Р(х*) | < 2е + ^ [ 1 - cos (х*, х)} Р (dx) ~\~
с
+ ^ | sin (л:*, х) \ Р (dx) < 2е -f ^ (х*, x)2P(dx)-\-
с с
+ (х*, x)2P(dx).
Введем S-операторы соотношением
(Sex*, х*)==-[ (х*, х)2 Р (dx)
С
и получим требуемое утверждение.
Доказательство достаточности. Рассмотрим пространство Y всех
последовательностей У = (У 1, У2, • • •)¦ Знание ф (х*) определяет
распределение вероятностей Рп любого конечномерного вектора (yi, У2ч ¦ ¦
•> Уп), и. как обычно, мы можем распространить эту вероятностную меру на
порождаемую а-алгебру
164 Гл. 6. Стохастические линейные пространства
в Y. Теперь для любого положительного е можно найти такой оператор S
(записанный в диагональной форме в Z2),
00 оо
(Sx*, х*) - 2 av (х*)2, 2 av < оо, av > О,
1 1
что | 1 - ф (л:*)| < е для х*, удовлетворяющих неравенству (Sx*, х*)
<с 1. Тогда
р ( 2 у' >1) <, '', J (1 - ехР [ - \ 2 у* 1) Рп
i
поскольку
У е - 1
при | и | > 1. Следовательно
П
I .Л 1/ Р
X
V' (l-exp(--i"))>l
i Г
n
x ^ {1 ~(f {y*)} exp [ "T S № } dy*
Rn 1
(используются свойства нормальной плотности в Rn и ее характеристической
функции) и
р ( 2 У1 > 1 ^- е + ------х
J ¦ Ye- 1 Ye- 1 (2я) /
п ^__ n
х S 2 exp [ ~ T 2 0" ] dy* = 77ЗТ (e + 2 2 a0 '
n 1 ' 6 1
2av(yJ) 2>i
так как l
(2я)?,/2
2 a (у*)>1
II
l exp [ ~y 2 dy*
я fi fi
^72 J [ 2] exp ( - т 2 (у*)21 = 2 av-
(2я)
R
6.2. Анализ Фурье в банаховом пространстве 165
Аналогично
av
P(2.0*v>c)< Vj (е + 2 'j .
i
Но отсюда вытекает, что вероятностная мера Р, введенная на Y, имеет всю
массу распределенной на последователь-
СО
ностях из l2, Р {у \ оо} = 1. Можно убедиться в том,
i
что упомянутая выше cr-алгебра содержит все открытые множества
пространства 12 (сравните с рассуждением в замечаниях 6.1.±). Наконец,
преобразование Фурье меры Р в 12 совпадает с <р (**) для всех х* g X*.
Это завершает доказательство (см. замечания 6.2.3).
В других банаховых пространствах положение, конечно, сложнее.
Поучительно вернуться на время к случаю дейетвитель-ной прямой. В
качестве исходной точки возьмем следующее элементарное
Предложение. Пусть ф (t), -оо < t < оо, есть измеримая и положительно
определенная функция. Если
то ф (t) непрерывна.
Доказательство. Хорошо известно, что ф (t) совпадает почти всюду с
непрерывной положительно определенной функцией фе (t), т. е. <р (t) = фс
(t) + ф0 (t), где Фо (0 = 0 почти всюду. Для произвольных tv, су введем
функции
Ф(0=2 с^с^ср (t + tv - t"),
V, (X
Фс(0" 2 счСц(рс({ + ^v v, Ц
166 Гл. в. Стохастические линейные пространства
Функция Ф (t) является положительно определенной, так как для любых sh,
ah имеем
2 (Sh = 2 ф (Sk~^tv
h, I ft, 1, v, |i
что неотрицательно по определению. Отсюда вытекает неравенство |Ф (t) \ <
Ф (0), так что
е е
Ф(0) > lim \ Ф (/) dt = lim ± \ Ф0 (t) dt + Фс (0),
Е|0 ZB ^ е|0 J
т. е.
Ф (0) - Фс (0) = 2 cvc' ф0 (tv - /й) > о,
V, [X
и ф0 (t) - положительно определенная. Но мы предположили, что
е
Фо (0) = ф (0) - фс (0) = lim ~ \ ф (t) dt - фс (0) =
eiO J
-е
г
= lim-^- \ фс(t)dt - фс(0) = 0. Ё j. о J
- Е
Следовательно, ф0 (0) = 0, откуда вытекает, что ф0 (/) = 0.
Ясно, что наше предложение имеет место и для других сингулярных
интегральных ядер.
Вернемся теперь к банаховым пространствам и рассмотрим простой пример.
Пусть X = 1^ состоит из суммируе-
СО
мых последовательностей х = {хи х2, . . .), || х || =
1
<; оо, а двойственное пространство X* = т состоит из ограниченных
последовательностей t = (tu t2, . . .), || / || =sup|/v|. Пусть случайные
величины xv независимы и
Р (xv = 0) = у ,
Р (*v = V) = P(*v = - - ^ - ,
6.2. Анализ Фурье в банаховом пространстве 167
Это не определяет "истинного" распределения в lit так как
лэ со
2 Е | xv \ = 2 '2^Г= "Ь 00 >
1 1
оо
так что 2 !•*''[ ие СХ°ДИТСЯ почти наверное (заметим, что
1
|*v| равномерно ограничены).
С другой стороны, "преобразование Фурье"
со
ф(0 = Ф(^1, t2, . . .)=--Еехр Q 2 tvxv^= [ ^ + ^-cos-^]
V= 1
сходится при любом t 6 т. Если || t || ->0, то ф (t) 1.
Это показывает, что сильная непрерывность положительно определенной
функции ф (t) не обеспечивает того, что ф (t) является преобразованием
Фурье в том строгом смысле, в каком это понималось.
Теперь мы можем сформулировать условие непрерывности. Пусть Л -
направленное множество вероятностных мер Я в X*, сходящихся к 60 в
смысле, точно определяемом ниже. Будем говорить, что ф (/) является А -
непрерывной, если
lim ^ ф (t) A (dt) = ф (0).
Л х*
Теорема. Пусть ф (/) есть положительно определенная функция на X* = т,
