Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
Эти свойства доказываются так же, как соответствующие свойства интегралов
Петтиса (см. замечания 6.1.3).
Если X - гильбертово пространство, то можно ввести также линейный
оператор Q, играющий роль, аналогичную матрице моментов второго порядка
для конечномерного евклидова пространства. Если Е \\х\\2 <; оо, то мы
определяем Q соотношением
(Qz, y) = E(xz)(x, у),
т. е.
(Qz, z) = E(x, zf,
и аналогично определяем ковариационный оператор С соотношением
(Cz, z)~E(x - Ех, г)2.
Оператор Q является эрмитовым, неотрицательным, ограниченным и если ev -
единичные векторы, направленные по координатным осям, то в силу
соотношения (Qy, z) = = Е (х, у) (х, г) имеем
2 [(Qev, бц)]2 = 2 [Е(*> *ч)(х, ец)]2 <
V, |Л V, ц
<[2Е(х, ev)2]2 = (Ej| а: ||2)2 < со,
V
так что Q есть оператор Гильберта - Шмидта и, следовательно, вполне
непрерывен. Далее,
2 (Qev, ev) = E||x||2< со,
V
так что Q имеет конечный след. То же имеет место и для С. Такие операторы
называются 5-операторами. Сумме *i + х2 двух независимых случайных
элементов из X соответствует ковариационный оператор, являющийся суммой
ковариационных операторов элементов Xi и х2¦
6.1. Вероятности на банаховом пространстве 157
Если X представлено в виде пространства 12 последовательностей, то Q и S
- обычные бесконечномерные матрицы моментов.
Для последовательности xit х2, . . . случайных элементов из X имеем
несколько полезных понятий сходимости: слабую сходимость почти наверное Р
{х* (л\,) (х)
для всех х* 6 X*} = 1 и сильную сходимость почти наверное Р{ \\хп-х || -
>- 0} =1, сходимость по вероятности Р {IUn - лс || 3> в}'-*-0 для любого
положительного е и, наконец, сходимость в среднем с показателем а, Е \\хп
- х ||а ->-0.
Что касается сходимости распределений вероятностей Рп -+Р, то, пожалуй,
как и раньше, наиболее важным понятием является слабая сходимость,
означающая, что
\ f (х) Рп (dx) -> ^ f (х) Р (dx) х к
для всякой непрерывной и ограниченной функции / (х). Это эквивалентно
требованию
Рп {х | g(x) < c}->P{x\g (х) < с}
для любой непрерывной функции g (х) и любого с, для которого правая часть
непрерывна. Можно показать, что это имеет место в случае, когда Рп (U)
сходится на семействе единственности {U}, и последовательность {Рп}
компактна: Заметим, что & (X) может быть сделано полным сепарабельным
метрическим пространством, в котором определенная ниже метрика
соответствует слабой сходимости. Возьмем произвольное замкнутое множество
С и образуем открытое множество
Се = {х | inf || х - у || < е}.
У?С
Определим как точную нижнюю грань чисел е, удовлетворяющих неравенству
Р2 (Q < Р1 (С?) + е.
Аналогично определяем е2 как точную нижнюю грань чисел е, удовлетворяющих
неравенству
Р1 (С) <С.Р2(С ) + s.
158
Гл. 6. Стохастические линейные пространства
Метрика определяется соотношением
Q(Pu P2) = max(e1, е2)
(см. замечания 6.1.4).
6,2, Анализ Фурье в стохастическом банаховом пространстве
Пусть X есть действительное банахово пространство, а Р -• некоторое
распределение вероятностей, определенное на борелевских множествах
пространства X. Естественно следующим образом определить преобразование
Фурье, или характеристический функционал распределения Р.
Определение 6.2. Характеристическая функция (или функционал) Р (х*) есть
функция на X*, определяемая по формуле
Р (х*) = Е ехр (гх*(х)) = 5 exp (ix* (x))P(dx).
X
Некоторые основные свойства характеристических функционалов
устанавливаются легко.
Теорема 6.2.1. Л пространстве & (X) выполнены следующие свойства.
1) Функция Р (х*) равномерно сильно непрерывна по х*, а также слабо
непрерывна.
2) Р (0) = 1.
3) рГГ>2 (х*) =Р1 (Х*)-Р2 (х*).
4) Р (х*) есть положительно определенная функция на X*.
5) Если Лр+1 = ^ || х || 1J+1 Р (с/х) < оо, то
х
р
р(х*) = 2> тгЕ(**(х))Р+7^тг)! Ар+и |0,<1-
V- 0
6) Р (х*) однозначно определяет Р.
6.2. Анализ Фурье в банаховом пространство 159
7) Если последовательность Рп слабо сходится к распределению
вероятностей Р, то Рп (х*) -*Р (х*) для всех х* 6 X*.
Доказательство. Утверждения 2), 3), 4) и
5) доказываются точно так же, как и в случае действительной прямой, а
7) непосредственно следует из определения слабой сходимости.
Для доказательства 1) воспользуемся неравенством
| Р Ю - Р (К) 1 < ЕI ехР (ixt М) - ехР (ixt (•*))! =
= Е ! 1 - exp (iz* (х)) I,
где 2* = х* - х*. Выберем множество S, удовлетворяющее неравенству Р (S)
> 1 - 6 и обладающее ограниченными элементами, sup || х || = М <оо.
x?S
Если выбрать г* столь близким к нулю, что [ 1 - ехр(г'г* (х)) | < 6
для всех х 6 S, то
| Р (х*)-Р(Х;) j < ^ | 1 - exp (iz* (х)) j Р (dx) + 26 < 36. s
Это доказывает первую часть утверждения 1). Вторая часть проверяется
аналогично, так как из слабой сходимости х% ->- х* в X* вытекает х* (х) -
х* (х) ->-0 для любого х в X и применима теорема Лебега о сходимости.
Утверждение 6) имеет место в силу того, что масса, распределенная на
любом множестве вида U={ х | х* (х) < с}, может быть вычислена по Р (х*),
