Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующая теория.
До этого можно в качестве ориентира использовать результаты, подобные
приведенным выше. Обычная процедура заключается в том, что сначала
определяются разложения Её (X) и затем вычисляются обобщенные разложения
М (X) и N (А,), Последние используются затем для
5.5. Примеры
145
образования нужных операторов Мь Мщ, и т. д. Так мы получим указание,
какого рода предельные теоремы нужно ожидать.
5.5. Примеры
5.5.1. Для ясности может быть стоит начать с особенно простого случая
группы вращений окружности Т1 = = {ф ]-я<ф<я}. Неприводимые унитарные
представления U (g) в этом случае особенно просты - это eive, v = О, +1,
+2, . . . Поэтому имеем:
Н0 (g) = 0, Hi(g)=g,
H2(g)-
2 g, -2 g - 2я, 2 g + 2 я, 3g, -
Jt , Tt
~Y<g i
^r<g<я, - я <g<
Jt Jt
V <?<-*
я
3g - 2jt> ~T<g<
H3(g)=-
2 -
Зg - 4л, -5- я < g < я,
3g -)- 2я, 3g + 4я,
2
Я
з я<г<- з 2
• я<1
я:
И т. д.
Для того чтобы проиллюстрировать теорему 5.3.1, мы можем рассмотреть
равномерное распределение Rn на интервалах . Тогда для любого
v и достаточно больших
значений п
\ Hv(g)Rn(dg) = ^a-^ = ±Hv(
146 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
G
В этом случае теорема, конечно, применима и 6(а+Ь)/2.
Беря b = -а (так что g = е) и рассматривая большие п, получаем
К
G
И
я
II 5 | Я |3 М (dk) || = \ \H4{g)\"Rv-{dg) =
° =о(^г)-"а).
так что можно ожидать, что Rny- сходится по вероятности
к распределению вероятностей я, преобразованием Фурье
которого является функция
г \
я = exp ^----g-J.
Легко видеть, что если х есть случайная величина, принимающая
действительные значения и распределенная нормально со средним 0 и
стандартным отклонением сг, то g = х, сведенному к интервалу (-я, я) по
модулю 2я, имеет преобразование Фурье
Я со
\ e"'p{de) = vh, \ ехрО*-ё>*-
- Я -со
f a2v2 \
= 6ХР V-----2->
В нашем случае сг = ЫуЗ. Предельным распределением является, конечно,
просто нормальное распределение на единичной окружности (см. также
4.4.1).
Остановимся на минуту и подумаем об этом примере. При применении теоремы
5.3.1 мы проверяем выполнение двух условий относительно моментов первого
и второго порядков. Но в нашем случае пространство &?, в котором
действуют наши унитарные представления, является ко-
5.5. Примеры
147
нечномерным, и это дает возможность сформулировать эти условия в более
простой форме. В матричной записи
(g) = {Uvn(g); V, (1=1, 2,
Предположим, что
I Uw(g)Pn(dg) = 6VVL+^r + o(i') > Л = {ач,ц).
G
Тогда, очевидно,
lim (Рп)п = lim Г / - ~ -{- о ( Л 1 = ехрА
n->co n->co *- V У J
Если еА = U (go), получаем теорему 5.3.1, а если еА =л, получаем теорему
5.3.2. В частности, введем функцию
u(g) = \\U(g) - I\\
и потребуем, чтобы
\u(g)Pn(dg) = o(K~J-
G
Тогда
\\Pn-I ||< jj \\U{g)-I\\Pn(dg) = o^'),
G
так что Р->-8е. Мы могли бы также образовать функцию, построенную по всем
представлениям одновременно,
со
v(g) = 2kv\\uv(g)-11|, kv>о, 2^<co.
1
Тогда из
5 v (g) Pn (dg) = о (i-) снова вытекает, что бе.
5.5.2. Более интересный, но и более сложный пример дает следующая
стохастическая группа, не являющаяся ни компактной, ни коммутативной.
Рассмотрим группу линейных преобразований действительной прямой х ->-оа:
+ Р, где а > 0 (см. замечания 5.5.2).
Элемент этой группы записываем в виде g = (а, Р) и определяем окрестности
очевидным образом. Группа эта, G, локально компактна. Ее инвариантная
справа мера опре-
148 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
деляется соотношением
"("4'.
Известно, что ее неприводимые унитарные представления состоят из
одномерных представлений вида a%t, где t действительно, и некоторых
бесконечномерных.
Одномерные представления не будут описываться здесь, так как они ведут
себя так же, как и в классическом случае. Пусть Я+ есть гильбертово
пространство функций / (к), определенных на положительной части
действительной прямой, О <; оо, и интегрируемых с квадратом относительно
меры Лебега на этой полупрямой; скалярное произведение определяется как
обычно. Полагая
U+(g)f(h) = eiltif {ка) У а ,
имеем
U+{g)f\|2= J \f(ka)\*adk= J |/(ц)|Мц = ||/1
|2
и U (g) унитарно. Далее, для gv ={av, |3V), v =1,2, имеем
u igi)и (gz) f{^) = U igi) eiX4 (ka2) Ya2 = _
= exp + ika$z) f (ka^) Vaia2 = U(g)f (к),
гдeg = gigz, так что U (g) есть представление. Ясно также, что U [?)
непрерывно. Аналогично вводятся Я~ и U~ (g). Известно, что описанные
представления образуют вместе множество всех неприводимых и унитарных
представлений.
Покажем, что G обладает P-свойством. Рассмотрим множество
s= {g | -В<Р<В|,Л>1
и его индикатор I (g) = Is (g). Функция
I I (У) I (У8) v (dy)
Ф (g) = ~---^--------
является нормированной положительно определенной. Числитель последнего
выражения равен
v{y\y6S, ygeS}-~2\ogA(\ 4 0(1)) 26(1+0(1)) =
= v(S)(l+o(l)),
5.5. Примеры
149
если А = о (В) при Л и В, стремящихся к бесконечности. Это означает, что
положительно определенная функция Ф (g) приближает функцию, тождественно
