Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
группами.) Это - существенное ограничение, хотя иногда можно вложить
заданную группу в группу, обладающую этим свойством. В таких группах
можно определить рациональные степени gT (г - рациональное число) и в
случае, если gT -+е при г-*- 0, можно ввести произвольные степени g1 (t -
действительное число). Сделаем следующие предположения.
5.4. Предельные теоремы на полных группах
141
а) Для любого действительного t и любого g ? G существует элемент g' ?
G, зависящий непрерывно от g и t,
б) g° = e, gx=g.
в) g'+s=g'gs-
Введем теперь понятие среднего, отличное от понятия среднего значения из
разд. 5.3. Пусть {$g, U (g)} - произвольное, неприводимое и унитарное
представление группы G. При фиксированном g операторы Vt = U (gl)
образуют непрерывную группу унитарных операторов
v<+s = и (g'+s) = и (g'gs) = и (g() и (gs) = vtvs.
Известно (ем. замечания 5.4.i), что
со
Vt = exp [itH (g)] = ^ eiadFg{X),
- CO
где Fg (X) - разложение единицы, соответствующее самосопряженному
оператору
СО
H(g)= J XdFg(X).
- СО
Операторы Н (g) могут быть не определены на всем $?, так как они не
обязательно ограничены. Мы будем предполагать; что существует множество
3), всюду плотное в S6 и такое, что Н (g) z определено для z ? 3) и всех
g 6 G, и что
J ||ff(g)z||P(dg)<oo.
G
Тогда можно ввести оператор Н (Р) в 3), положив Н (P)z= Н (g) zP (dg).
G
Определение 5.4.1. Если существует такой элемент g EG, что Н (g) z = Н
(Р) z для всех г 6 3), то g называется средним распределения Р на G.
142 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
Если среднее g существует, то оно определено однозначно. Действительно,
если Я (g4) = Я (Р) = Н (g2), то операторы eiH<gl'> и eiII("^> унитарны
(=U (g{) и U (gz)), определены всюду и равны на 3?, следовательно,^ = g2.
Если при распределении Р вся масса сосредоточена на g0, то среднее
распределения Р есть g0.
Среднее случайного элемента g1 (t - действительная постоянная) группы
равно (g)', если g существует.
Если даны два распределения вероятностей Pt и Р2 на G такие, что
операторы Я (Pt) и Н (Р2) коммутируют и их средние gi и g2 существуют, то
среднее распределения PiPi + P2P2, 0 <Pi,P2 < 1, Pi + Р2 = 1 равно (gi)w
(g2)p^ В частности, если распределение Р имеет среднее g,
1 \
то "приведенное" распределение у Р + у6(^-1 имеет среднее е.
Как было указано выше, операторы Н (g) не обязательно ограничены, и это
приводит к дополнительным трудностям. В исключительных случаях (например,
когда определенная ниже функция М (X) изменяется на конечном интервале)
их можно избежать, но вообще мы должны быть готовы к тому, что это
вызовет значительную затрату времени и усилий.
Сформулируем несколько простых результатов, которые могут, однако,
оказаться полезными. Преобразование Фурье величины g{fn основано на
представлениях
оэ ^ Я
U(gV")= J е% п Fg (dX) = 5 e*Ee(dX), .
- со -Я
где
со
Eg(^") - Eg(h')= 2 [Fg (пХ"2nkn) - Fg (tiX'2nkti)\
ft-- CO
при - я<Я/ <Г <я. Оператор = Н (Рп), связанный со случайным элементом
g^^n, принимает вид
Л со
Ni = Н (Рп) = J XN(n>(dX)= J [A]Af(dX),
- Я -г-ро
5.4. Предельные теоремы на полных группах
143
где
M(K)=^Fg(l)P(dg).
с.
Вспомним, что Р есть распределение вероятностей элемента g стохастической
группы. Символом [л:] обозначена периодическая функция с периодом 2л,
определенная на интервале [-л, л) соотношением [л:] = х. Аналогично имеем
Л оо
N2= J M(dk).
-Л -со
Вспоминая теорему 5.3.1, получаем непосредственно следующий результат.
Теорема 5.4.1. Предположим, что
СО СХЭ
\Rn\\ = 0[ -
1 л
П J и
со
2) 1|МГ2]|| = || J [^]2Л1(^)|| = 0(1).
-со
Тогда имеет место сходимость g\/n gi!n ¦ . . gr\/n -> go no вероятности,
или, что эквивалентно, Р"' ->- bga.
В качестве иллюстрации приведем без доказательства следствие этой
теоремы. Пусть Р - симметричное распределение вероятностей, для которого
Пп
а) || J %ЪМ (d%) || = о (п),
- Т]п.
оо
б) ||$Л*(а)|| = о(|).
Пп
Тогда Р%*-*-6ga.
144 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
Можно получить также не вполне удовлетворительное распространение теоремы
5.3.2.
Теорема 5.4.2. Предположим, что существует такой положительный оператор
я, что
1) 1|M[i][| = °(j).
2) Мт =/-(я)'а< + о(4),
со
3) IIМт 11 = 11 5 [[1]|3А1(^)!| = о(1).
- оо
Тогда имеет место слабая сходимость Р%* ->я.
Доказательство. Сравниваем с доказательством теорем 5.3.1 и 5.3.2 и
замечаем, что
(РпГ= ['/ + М[2] + о(1)]П^Я.
Теоремам этого раздела нельзя придавать большее значение, чем
предварительным и пробным попыткам формулировать теорию. Их недостатки
должны быть очевидны читателю и могут побудить его попытаться их
устранить. Можно было бы предпочесть формулировать условия в терминах
операторов
со
J QyM(db),
- СО
вместо того чтобы делать это в терминах операторов М[Р]. В настоящее
время известно только, как это сделать с помощью сложных и громоздких
предположений. Требуется больший опыт в обращении с предельными теоремами
на специальных группах, для того чтобы могла быть сформулирована
