Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
с квадратом.
Ясно, что М идентична оператору Т (см. разд. 3.1):
Tfg = \ fghP (dh) = )ghP (h) = 2 P (g~lk) h =
G hSG1 h?G
= 2 Pgkfk= (Mf)g¦
k?G
Спектр M действителен (симметричная мера) и содержится в интервале (-1,
1). Спектральный радиус г = max |Я|, где к принадлежит спектру, имеет
специальный интерес и особенно важно знать, меньше ли он единицы или
равен единице. (См. также соответствующее обсуждение в разд. 3.1.) Вообще
говоря, не легко определить г. Представляет некоторый интерес возможность
определения г в следующем случае.
Пусть G - свободная группа, порожденная h свободными образующими. Если Р
имеет равномерное симметричное распределение на этих образующих, то (см.
замечания 5.5.3)
- /21Г^\
r~V № •
Эта величина меньше единицы при h > 2. На таких группах нельзя
аппроксимировать константу 1 функциями вида ф * ф способом, описанным
ранее в этой главе.
Для конечных или коммутативных счетных групп имеем г = 1.
Глава 6 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
6.1. Вероятности на банаховом пространстве
В последней главе мы пытались сформулировать предельные теоремы,
аналогичные закону больших чисел и центральной предельной теореме. До
некоторой степени это оказалось возможным, но ясно, что можно ожидать
более содержательных результатов, если наложить большие требования на
структуру группы. В частности, если потребовать, чтобы группа и операция,
соответствующая образованию степени, были простыми, то успеха можно
достичь значительно легче.
Понятие, которое мы имеем в виду, есть понятие линейного пространства, в
частности банахова пространства. Оно, конечно, коммутативно, и только что
упомянутая операция, которая в данном случае является просто умножением
на скаляр, дистрибутивна. На первый взгляд можно было бы подумать, что
это даст возможность получить желаемые результаты без лишних хлопот
простым применением анализа Фурье. Это не так в силу того, что теперь мы
имеем дело с пространствами, которые не являются локально компактными.
Больше мы не имеем инвариантной меры, а бесконечномерная природа
пространства вызывает некоторые не очень приятные последствия, с чем мы
столкнемся ниже.
Рассмотрим банахово пространство X (которое обычно считается
действительным) с элементами х и нормой \\х ||. Двойственное
пространство, состоящее из всех непрерывных линейных функционалов х* (х),
обозначается X*. Мы будем все время предполагать, что и X, и X*
сепарабельны. Читателю следует иметь в виду, что некоторые из результатов
этой главы имеют место (или, во всяком случае, известны) только в
предположении сепарабельности.
Среди различных банаховых пространств мы будем,
6.1. Вероятности на банаховом, пространстве
155
конечно, уделять особое внимание сепарабельному гильбер-товому
пространству.
Будем рассматривать вероятностные меры Р на X, определенные на ст-
алгебре, порожденной открытыми подмножествами пространства X. Тогда любой
непрерывный линейный функционал х* (х) измерим. Для действительного
построения меры может оказаться более удобным исходить из конечномерного
распределениях* (х), х? (х), . . . , х* (х), где х* 6 X*, т. е.
использовать алгебру множеств, порожденную цилиндрическими множествами
вида
где В - произвольное борелевское множество в Rn. Затем мы применяем
теорему Колмогорова и распространяем вероятностную меру на
соответствующую сг-алгебру X, содержащую все открытые множества (см.
замечания 6.1.±). Этот возможный подход основан на предположении, что х*
(х) является P-измеримым для любого х* 6 X*; такой случайный элемент
называется L-стохастическим.
Здесь уместно упомянуть о понятии семейства единственности. Пусть СЦ =
{0} - такое семейство множеств (будем предполагать их борелевскими), что
знание значений вероятностной меры Р (U) на всех U полностью определяет
Р. Тогда % называется семейством единственности. В нашем случае все
полупространства {х\х* (х) <с} образуют семейство единственности. Для
конечномерных евклидовых пространств это давно известно (см. замечания
6.1.2).
Среднее значение т распределения вероятностей Р на банаховом пространстве
определяется с помощью интеграла Петтиса. Будем говорить, что Р имеет
среднее значение т, если х* (х) интегрируема для любого х* и если
существует элемент т, удовлетворяющий соотношению
для всех х* Е X*. Если т существует, то оно единственно, и мы будем
обозначать т = Ex. Далее ясно-, что
1) если Exi и Ех2 существуют, то Е (xi + х2) существует и равно сумме
Exi и Ех2,
2) если х есть постоянный элемент х0 с вероятностью 1 то Ех существует
и равно х0\
{х\(х*(х), х*(х), ..., х*п(х))?В],
156 Гл. 6. Стохастические линейные пространства
3) если Ел: существует, то Е (сх) существует для любой неслучайной
константы с и равно сЕх\
4) если Ех существует и L есть ограниченный линейный оператор,
отображающий X в другое банахово пространство Y, то Е [L (*)] существует
и равно L [Е (*)];
5) если Е || х |! <; оо, то Ех существует и
|[ Е х |( < Е || х Ц.
