Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 50

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 82 >> Следующая

удовлетворяющая условию ф (0) = 1. Она является преобразованием Фурье
некоторой вероятностной меры на X = U тогда и только тогда, когда она К-
непрерывна для К-мер вида
П
A (dt) = JJ-------1-т- dti ... dtn80 (dtn+i)
i яву Г 1+^-1
I ev J
max | ev | ->0.
l^v^n
Доказательство. Из предположения A-непрерывности следует, что ф (tit t2,
. . . , tn, 0, 0, . . .) непрерывна в (см. доказательство предложения
выше), так что все конечномерные распределения Рп величин хи х2, ...
168 Гл. 6. Стохастические линейные пространства
. . ., хп вполне определены. Остается доказать, что
СО
Р \х I 2 I [ < оо) - 1. Введем функцию
1
71
q(n, е)= ^ ^ ^ exp ^ i 2 tvxv j х
т хевп ieRn i
п
X Рп (dx) JI -----------1-2- dti. . . dtn =
i Я8п Г 1 + -4]
L 6v J n n
= 5 exp ^ - en 2 | *v i ] Pn (dx) - E exp - en 2 j xv IJ •
x?Rn ' 1 '
Тогда из ^-непрерывности вытекает, что
П
Е ехр [- еп 2 I *v |] =" <?(", е")-> 1, я -> со,
1
так что
п
2 I *v I ->0 по вероятности при rt->co.
1
п
Но отсюда вытекает, что Sn = 2 I xv I сходится (к конеч-
1
ному пределу) по вероятности, так как иначе для некоторого б0 > 0 можно
было бы указать такую последовательность Ап f + оо, что Р (Sn > Ап) > б0.
При выборе en = 1 /Ап | 0 это означает, что Р (enSn > 1) > 60 для больших
п, что невозможно. Это доказывает, что
СО
Р Iх I 2 l*v I < оо} = 1.
1
Предположим теперь, что Р есть "настоящая" вероятностная мера на Zt.
Тогда
П
1 > ^ ф (t) X (dt) = Е exp - 2 ev [ *v I J >
l
> E exp [ - max ev || jc ||] -> 1
при n ->- оо, так как || x || есть обычная случайная величина.
Следовательно, ф (t) является ^-непрерывной.
6.2. Анализ Фурье в банаховом пространстве 169
Это рассуждение имеет общий характер. В случае гильбертова пространства
мы можем поступать аналогичным образом, используя в качестве Л множество
независимых и нормальных распределений N (0, о) для tv с условием
со
2 ffv < 00• Это привело бы нас опять к 5-топологии. В об-1
щем случае надо было бы вложить пространство X в большее пространство X',
возможно заданное в координатной форме. Можно было бы тогда попытаться
аппроксимировать
1Х (х'), индикатор множества X в X', более регулярными функциями fx и
выразить EIx(x') =Р (X) через преобразование Фурье функции и ср (х*).
Рассмотрения этого типа имеют некоторый интерес для выяснения логических
трудностей, но окончательные критерии не представляют большой
практический интерес из-за их косвенной формы.
Вспомним теперь замечания, сделанные в конце разд. 4.2, и посмотрим, как
они могут быть применены в случае гильбертова пространства. Предположим,
что наше гильбертово пространство X может быть представлено в виде прямой
суммы
X = Xi (c) Х2 @ Х3 (c). . .
элементов л: = (хи х2, . . .), где xh принадлежит гильбертову
пространству Xh со скалярным произведением (a, b)h и нормой || а ||й =
]/(а, a)h. В пространстве X имеем скалярное произведение
zr>
(Х1 у) ~ 2 (¦*¦*> Ук)к-
k=l
Предположим, что на подпространствах Yn (c) Х2 (c). . .
. . . (c)Х" имеется некоторая вероятностная структура и мы
со
хотим ввести ее на X. Положим \\ уп\\2п= 2 ||*v||v-
V = i
Теорема 6.2.5. Предположим, что на каждом Yn, п = 1,2,..., согласованным
образом определена последовательность вероятностных мер Р[п\ Р&), ....
Введем
170 Гл. 6. Стохастические линейные пространства
ограниченную неубывающую функцию
Fh (и) = lim P(hn) {уп \ || Уп |!п < "}•
П -> ,:о
Если Fk (+00) = lim Fh (м)=1, то Р?!) определяют рас-
и-+-\-со
пределения вероятностей Р k на X. Если F h (и) 1 для
любого и > 0 при k -> 00, то Ph -^60.
Если Р(,1) - однородные процессы, согласованно определенные на Yn, и
Ft (и) = lim Р\п) {уп I [| уп j|n < и]
Ц-> СО
удовлетворяет условиям Ft (+00) = 1 и Ft (и) 1 для
всех и > 0 при t \ О, то Pfn) определяют непрерывный однородный процесс
Pt на X.
Доказательство. Мы предположили, что меры Рй согласованы, так что Р(/' }
есть проекция меры Р^ на Yn¦ при п' < п". Тогда мы получаем вероятностную
меру на пространстве последовательностей (хи х2, ¦ ¦ •). Рассмотрим
функции
Pk+l) \Уп | II Уп ||n+i < и) = P(hT, + 1) {Уп I II Уп II2. + II ^+1 II2 <
и] <
<Pi"){(/rl| || уп Ц"<Ы},
образующие невозрастающую последовательность при возрастании п.
Следовательно, Fk (и) вполне определена. Надо
только показать, что
СО
pft U12II xh ill < 00} = 1,
1
что следует из
со со
Ph[x I 2 ll*fc||ft< °°) = lim ph\x I 2 l|*fc|!fc<ttj =
1 гг-y-j-co 1
= lim Fk(n)= 1.
n->-j- со
Далее,
P* {д: 11| д: || < e} = Fk (e) -> 1 для всех e > 0 при k ->-cx>, так что
Ph ->-60.
б.З. Нормальные распределения
171
Оставшаяся часть доказательства завершается применением этого к Р("\
Замечание. Для первой части теоремы достаточно (но не необходимо)
предположить, что
конечно и о| -+0 при k^-oo. Аналогично дело обстоит и для второй части.
Интересно применить это к X - 12, где мы выбираем Хп как одномерные
пространства, соответствующие координатам в /2. Для каждого Хп известен
вид непрерывного однородного процесса (или, точнее, его
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed