Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
инфинитезимального порождающего оператора), и это может быть использовано
для построения Pt в X = 12.
6.3. Нормальные распределения в гильбертовом пространстве
Теперь нетрудно видеть, каким должно было бы быть корректное определение
нормального распределения вероятностей в гильбертовом пространстве X.
Определение 6.3.1. Нормальное распределение Р в гильбертовом пространстве
X понимается как распределение, однозначно определенное преобразованием
Фурье
Р (х*) = exp (х*, т) ^-(S**, **)] •
Здесь т - фиксированный элемент из X, a S есть S-оператор.
Теорема 6.2.4 показывает, что такое распределение существует, а
единственность ясна из теоремы 6.2.1 (утверждение 6). Можно также
убедиться, что ограничение на оператор S необходимо.
Теперь мы можем выразить т и S в терминах моментов распределения.
Теорема 6.3.1. Для нормального распределения элемент т является средним
значением, a S - ковариационным оператором.
172 Гл. 6. Стохастические линейные пространства
Теорема 6.3.2. Если х - случайный элемент в гильбертовом пространстве X с
нормальным распределением, то он может быть записан в виде
х = т + 2 tvev,
V
где ev - ортогональные единичные векторы в X, a lv - независимые
случайные величины с распределениями N (0, <rv), где - собственные
значения оператора S. Эта сумма конечна или счетна и сходится (сильно) с
вероятностью единица.
Доказательство теоремы 6.3.2. Выберем ортонормальные векторы {ev} так,
чтобы оператор 5 имел диагональный вид в соответствующей координатной
системе. Так как S имеет конечный след, его собственные значения Ov
удовлетворяют условию 2 °v <00 • Выберем
V
как описано, и образуем сумму у = ^ сходящуюся
V
в среднем с вероятностью единица. Используя теорему 6.2.1 (утверждения 3
и 7), получим, что преобразование Фурье распределения суммы у имеет вид
П ехр [ - (4)2 ] = ехр [ - ~ ^ °v (х*)2 ] =
V V
= ехр [ - -^(Sx*, **)] ,
аналогично для х - т-\-у.
Доказательство теоремы 6.3.1. Используем представление элемента *. Тогда
получим: Ех = т,
Е(х*, х-т)2=2 Е(4, ?v)3=2 °v (x$)2 = (Sx*, х%
V V
что и утверждалось; в обоих соотношениях операции образования
математического ожидания и суммирования меняются местами, но законность
этого очевидна.
6.3. Нормальные распределения
173
Теорема 6.3.3. Если х и у - два нормальных независимых случайных элемента
в гильбертовом пространстве со средними значениями соответственно тх и ту
и ковариационными операторами Sx и Sy, то х + у также имеет нормальное
распределение со средним значением тх + ту и ковариационным оператором Sx
+ Sv.
Доказательство очевидно.
Теорема 6.3.4 (ala Крамер). Если х и у - независимые случайные элементы
из X и г = х + у нормально, то х и у должны также иметь нормальное
распределение.
Доказательство. Нетрудно убедиться, что х и у имеют средние значения и
ковариационные операторы; будем рассматривать их как заданные. Для
произвольного х* ? X скалярные случайные величины х* (х) и х* (у), как
известно, нормальны, и так как их моменты первого и второго порядков
могут быть вычислены по фиксированным средним значениям и ковариационным
операторам, то их полные распределения определены. Но зная эти
распределения, мы можем (как мы заметили раньше) построить распределения
вероятностей х и у, и это завершает доказательство (см. замечания 6.3.!).
Теорема 6.3.5. Если В - ограниченное 'линейное преобразование X в X и х -
случайный элемент с нормальным распределением со средним значением т и
ковариационным оператором S, то у = Вх имеет нормальное распределение с
параметрами
ту = Вт,
Sv = BSB*.
Доказательство. Для любого х* имеем (х*, у) = (х*, Вх) = (В*х*, х).
Элемент у = Вх имеет вполне определенное распределение вероятностей. Его
преобразование Фурье задается соотношением
Еехр[1(л:*, у)] = exp fi (В*х*, х) ] = exp j i (В*х*, т) -
-~(SB*x*, Я***)}=ехр {*(**, Вт)-lr(BSB*x*, *•)]-,
174
Гл. 6. Стохастические линейные пространства
что доказывает предположение. Можно также непосредственно показать, что Т
= BSB* есть S-оператор. Действительно, непосредственно видно, что Т -
эрмитов, ограниченный, неотрицательно определенный оператор. Он вполне
непрерывен, так как он преобразует слабо сходящуюся последовательность в
сильно сходящуюся. Для того чтобы показать, что Т имеет конечный след,
проще всего использовать координатный язык, выбирая систему координат, в
которой оператор S имеет диагональную форму, и вычислить след.
Теорема 6.3.6. Пусть Рп, п = 1, 2, . . ., - нормальные распределения в
гильбертовом пространстве X со средними значениями тп и ковариационными
операторами Sn. Если тп -+т [сильно), a {Snx*, х*) -*-(Sjc*, х*) для всех
х* ? X и Sn<cT, где Т - некоторый S-onepamop, то Рп слабо сходится к
нормальному распределению со средним т и ковариационным оператором S.
Доказательство. Мы можем считать, что тп = т =0, чего можно добиться
переносом (или, точнее, сильно сходящейся последовательностью переносов)
в гильбертовом пространстве. Для любого х* ? X*
