Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
Рп (х*) = exp |-----(Snx*, х*)} exp { - (Sx*, **)j =
= Р (х*).
Используем теперь теорему 6.2.3. Имеем
Епх% = jj х%Рп (dx) - s",
х
где s" - (vv)-ft элемент оператора Sn, так что
со СО со
Ц 4= S $"< 2 *v,
JV+1 JV+1 JV+1
где tv - (vv)-ft элемент оператора Т. Следовательно,
со со
lim sup Еп 2 Xv^Hm 2 U~0,
JV-voo n JV+1 JV->ooJVfl
и условие 1 упомянутой теоремы выполнено, так что результат доказан (см.
замечания 6.3.2).
6.4. Закон больших чисел
175
В этом разделе мы изучали нормальные распределения только в гильбертовом
пространстве. В общем банаховом пространстве можно было бы по аналогии с
гильбертовым пространством определить нормальный случайный элемент л: как
такой, для которого х* (х) является нормальной случайной величиной для
каждого х* 6 X*. Кое-что из того, о чем было сказано выше, обычно
применяется, но пока наши знания о нормальных распределениях в общих
банаховых пространствах неполны.
6.4. Закон больших чисел
В начале этого раздела рассмотрим некоторые элементарные ситуации. Пусть
хи х2, х3, ... - независимые случайные элементы в банаховом пространстве
X с одинаковым распределением вероятности и средним значением т. Образуем
среднее
X = (ЛГ) -(- х2 + • • • НГхп)•
Для любого х* 6 X* имеем
** (*) = [х* (Xi) + ** (х2) + ... + х* (*")],
и скалярные случайные величины х* (xv) также независимы и имеют
одинаковое распределение. Их среднее значение существует и равно х* (т).
Из усиленного закона больших чисел тогда следует, что случайные величины
х* (х) сходятся к их среднему значению х* (т) с вероятностью единица.
Используя предположенную сепарабельность пространства X*, можно выбрать
счетную последовательность х*, х\, ... , плотную в X*. Стандартное
рассуждение показывает тогда, что почти наверное х слабо сходится к т.
Это, однако, нельзя считать существенным обобщением классического закона
больших чисел, так как здесь мы имеем дело с асимптотическими свойствами
х, выраженными через х*. Чтобы перейти к более сильным нормам сходимости,
обратимся к одному простому результату, основанному на следующей лемме.
176
Гл. 6. Стохастические линейные пространства
Лемма 6.4.1. (Неравенство Чебышев а.) Пусть х - случайный элемент в
гильбертовом пространстве X, для которого Е || х ||2 <; °о и Ех = 0
(второе условие означает просто, что Ех выбирается в начале координат,
что достигается переносом в X). Тогда
РДх\\>С}<Щ^ .
Доказательство проводится, как в скалярном случае.
Теорема 6.4.1 .(Слабый закон с сильной сходимость ю.) Пусть хи х2, . . .,
хп, ... - некоррелированные случайные элементы в гильбертовом
пространстве с общим Е [| х ||2 <;оо. Обозначим Ех = т. Тогда для любого
е > О
Р {[| х - т || > е} при п -> со.
Доказательство. Некоррелированность xv и х^ понимается в том смысле, что
Е (xv, х^) = (Exv, Ех^). Доказательство ведется очевидным образом. Имеем
Е || х - т ||2 Е \\ х - т || 2, так что лемма дает нам
Р{\\х-/пЦ>е}<-|!^~т||-^>0,
что и утверждалось.
Если*!, х2, ... независимы и одинаково распределены, то мы можем
использовать преобразование Фурье распределения х, для которого
Р (х*) = [l + 1Х*^т) +О ]"^>ехр [/ (х*, т)\.
Из этой сходимости в силу теоремы 6.2.3 вытекает результат, так как в
этом случае
со со
Rn< 2 т\ + 2 Е {bv~~mvy\ 0 при N -> со .
N N
Здесь тих записаны в координатной форме:
т = (/"!, т2, . . .) и x = (lu \г, . . .).
Более существен следующий результат.
6.4. Закон больших чисел
177
Теорема 6.4.2. (Усиленный закон с сильной сходимость ю.) Пусть xlt х2,
х3, ...¦- независимые одинаково распределенные случайные элементы
банахова пространства X и Е || х || < оо. Тогда х сильно сходится с
вероятностью единица к среднему значению Ex.
Доказательство. Предположим для начала, что случайные элементы могут
принимать только счетное
множество значений г)ь г)2, г)3, . . . . Для
натурального k
определим
xv, если Ху = ц1, х\2 ¦ ¦ ¦ или r)ft,
О в остальных случаях и xv = Ху -f Гу. Имеем
П П
h xhv+Rr" Rn = !s >
V=1 V=1
Первая сумма при любом k сходится (сильно) почти наверное к Exh. Это
просто конечномерный вариант классического усиленного закона больших
чисел. Также с вероятностью единица имеет место сходимость
П
V=1
где правая часть не зависит от v. Но Е || г? || -"-0 при k -+оо.
Комбинируя эти утверждения, мы ,'видим, что х сходится почти наверное к
Ex.
Перейдем теперь к общему случаю. Используя сепарабельность X, выбираем
счетную последовательность точек Xi, х2, , всюду плотную в X. Каждое
хг мы окружаем
шарами Si (е) = {х| || х - xt || <е}, так что X покрывается системой
перекрывающихся шаров. Введем непере-секающиеся множества
Ei (е) - Si (е),
?a(e) = S2(e)nS?(e);
Е3 (e) = Ss(e)nS?(e)nS5(e),
178 Гл. 6. Стохастические линейные пространства
Определим преобразование х -> Тгх, Тех = xt, где Xj - центр шара St (е),
если х 6 Et (е). Ясно, что случайные элементы Texv обладают теми же
свойствами, что и xv в первой части доказательства. Следовательно, для
любого е > О
