Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
равную единице, нужным образом, и утверждение доказано.
Эта группа обладает свойством единственности корней п-й степени.
Действительно, для любого действительного t имеем gt = (at, рг), где
си = а1,
-.к
при 1 и
а< = 1,
при а = 1. Исследуя оператор t/ (gl) = ехр (itH (g)) для малых значений
параметра t, находим, что
Ш (g) / М = [ ^Р j f W + Х 1о^ af' (V
для / 6 .23, где 3) есть множество функций / (А,), равных нулю вне
конечных интервалов и обладающих непрерывной первой производной.
Рассмотрим такое распределение Р на G, что интегралы
jj log aP(dg) = a,
G
5 p(dg)=b
G
сходятся. В дальнейшем для простоты предполагается, что аир независимы,
хотя это условие не очень существенно. Имеем
i ^ Н {g)P(dg) = ibM + ~I + aMD,
с,
где М - оператор умножения на X, а D -дифференциальный оператор. Тогда
i J Н (g)P(dg) = iH (g),
150 Г л. 5. Локально компактные стохастические группы
если среднее g = (?, г]) выбирается так, что 1 = еа,
еа__j
г) = 6--- при аф 0 и |=1, г\ = Ь при а ~ 0.
Можно ожидать поэтому, что случайные элементы Yn ^g\/nS2/n ¦ ¦ • si/"
группы сходятся по вероятности к среднему g. В силу простой структуры
группы это можно проверить непосредственно. Полагая уп = (oS"),
имеем,
а("> = (а)а2 . . . а71)1/",
1-а\/п 1-аУп 1 - а1/"
р(п)=р< т=бг+а'/п+• • • ^! ч
X а\/пауп. . .аУд.
Логарифмируя, получаем непосредственно из закона больших чисел сходимость
по вероятности -> | = еа = = ехр [Eloga], Полагая
" 1-оА/п "S-'-SPv-t 1
6W = iVpv^,
2 л ZJ rvav- 1 '
1
видим, что имеет место сходимость по вероятности b^ -> Ь. Но
[ exp (~ logO - 1 - logav I
й(")-6(")= У pv L -^-------a-4rI-----------~ ,
так что из независимости avH p vc помощью элементарного, но громоздкого
рассуждения получаем, что
ехр С4 loga)~i -4 ,oga
a- 1
¦0
Е|й("> -&(">|< яЕ|Р|Е
и по вероятности. Для того чтобы закончить доказа-
тельство, разбиваем сумму, определяющую п\ на такие блоки, чтобы
множители вида (а^а2 . . . av)1/v были постоянны, - ехр (- а") , и
применяем приведенное выше рассуж-V Л у
дение. Это доказывает сходимость.
Перейдем теперь к распределению элементов Ьп = =gi/Vngi//п _ _ _
gi/тА"приа=0, b =0, т. е. g = e. Нужно
5.5. Примеры
151
потребовать существование интегралов
Е (log а)2 = 1,
Нормировка первого интеграла произвольна и несущественна. Имеем
- Н! (g) = {ар ^ + Т+"¦ '°g "D} {ftp S+т +
+ 1 log aD} т-А (а, Р) J (Ц + В (а. Щ f (1) + С (а, Д f (1),
где
A (a, P) = (l"g")-[-^|i+2iA + i.j ,
В(а, P)-(logo)! [-1^5-+21] ,
С (а, P) = r(loga)2.
Следовательно,
-М2=- J Я2(^)Р№) = Л + ВБ + СБ2,
G
где введены полиномы
А = а2№ -f- а0, B = b2k2-jb1k, С~= с2Х2
с коэффициентами
ao = jE (log a)2,
at = 2iE (log a)2 J-j , a2 = E (log a)2 ,
b\ = 2E (log a)2,
62 = 2iE (log a)2 J-j 5 c2 = E (log a)2.
При нашем выборе постоянных получаем:
Л=-сЛ2 + ^, В = 2Л, С = Я2.
152 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
Для достаточно хорошей функции / (А) введем функцию f(l, t) = exp(-
tM2)f(yt удовлетворяющую параболическому уравнению
Тогда для получения нужной предельной теоремы мы должны выразить оператор
/(Л,) ->-/ (Л,, 1) в терминах унитарных представлений. Мы вернемся к
этому в гл. 7.
Прежде чем перейти к другому примеру, рассмотрим следующую предельную
задачу, отличную от приведенной выше. Рассмотрим элемент 6" = (a,(v\
р<")) = (gig2 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ gn)i,n- Имеем
•
a<n> = (ata2. . .а*)1/",
p((tm)) = [Pi-[ р2а1 -ЬРза1а2+ • • • bPnala2- • -an-ll -"Га 'а '
Первая координата а<"_> ведет себя по-прежнему, она сходится по
вероятности к среднему геометрическому ? = = ехр (Е log а), которое
предполагается существующим. Для изучения второй координаты рассмотрим
сначала случай |<1. При этом для последовательности Р<п> имеет место
сходимость распределений (и сходимость по вероятности), и предельным
распределением является распределение случайной величины
Р* = (Pi + Рга1 + Рза1а2 +••¦](! - I)!
где бесконечный ряд сходится почти наверное, если E|3V существует, так
как с вероятностью единица (ata2 . . . otn)l^n сходится к так что
множители аха2 . . . ведут себя асимптотически так же, как ? < 1. С
другой стороны, если ?>1, то для последовательности р<") все же имеет
место сходимость распределений (но не сходимость по вероятности) к
распределению случайной величины
|3**= ГА_|_ _Р2_+_Рз_+ ... 1(|_1). r L 0.1 о1а2 1 а^2а3 j V" /
Следовательно, в обоих случаях для дп имеем невырожденный закон
распределения. Сравните это с тем, что имеет
5.5. Примеры
153
место для уп = g\,ngyn ¦ . ¦ g\[n и для классического закона больших
чисел, когда предельные распределения являются вырожденными.
5.5.3. Рассмотрим теперь спектр оператора Т, соответствующего счетной
стохастической группе. Пусть G - счетная группа. Введем вероятность pgh
перехода от g к h с помощью умножения справа, так что pgh = Р (g_1/i).
Эти вероятности перехода образуют матрицу
M={Phg, g и h^G}.
Будет предполагаться, что матрица М симметрична. Ее можно рассматривать
как оператор в пространстве 12 последовательностей fg, g ? G, суммируемых
