Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
рассматривать только непрерывные положительно определенные функции (вроде
той, которая была определена выше). Обратно, всякая заданная непрерывная
и положительно определенная функция может быть представлена как (U (g) z,
z) при соответствующем выборе ($?, U (g)) и z. Это соответствие между
положительно определенными функциями и унитарными представлениями
многократно будет использоваться в дальнейшем. Если ф (g) ф 0, то ф (е)
>- 0, так что мы можем нормировать положительно определенные функции,
требуя, чтобы Ф (е) =1, что и будет иногда делаться.
Ясно, что множество Ф положительно определенных функций выпукло: сф*
+ (1 - с)ц>2 6 Ф для всех
с в (0, 1), если фь ф2 в Ф- Среди функций из Ф мы следующим образом
выберем экстремальную. Сделаем множество Ф частично упорядоченным,
положив ф! -< ф2, если фг - ф1 6 Ф, и будем говорить в этом случае, что
ф4 подчинено ф2. Положительно определенная функция ф, для которой
единственными подчиненными функциями будут
124 Г л. 5. Локально компактные стохастические группы
кратные с<р, с ? (О, 1), называется элементарной положительно
определенной функцией. Установлено, что такие функции в точности
соответствуют неприводимым унитарным представлениям.
Некоторые, хотя и не все, положительно определенные функции могут быть
получены следующим образом с помощью композиции. Пусть a (g) есть функция
из L (G), равная нулю вне некоторого компактного множества С. Образуем
функцию
Р(?)=\ a{h)a(hg)v (dh).
G
Тогда р (g) непрерывна и положительно определена, так как
II- и
2 cicJ'P (Sigl1) = 2 Ci°j \a(h)a (hgigj1) v (dh) =
, j- 1 i, j~i О
n
= 2 cicJ^a(kgi1)a(kgj1)v(dk) =
i,j=i G
n
= ^ 2 cia(kgi1) 2 V (dk) > 0.
G i = l
Заметим также, что p (g) равно нулю, если g g C_1C. Последнее множество
компактно (см. замечания 5.1.2).
Основной результат заключается в том, что существует множество R = {/•}
неприводимых унитарных представлений, полное в следующем смысле: если g0-
произвольный элемент из G, отличный от единичного, то существует такое г
? R, что Ur (g0) ф /. Другими словами, неприводимых унитарных
представлений достаточно много, чтобы разделять точки из G.
Из свойства полноты вытекают важные следствия. Можно рассматривать
элементарные положительно определенные функции как "блоки" для построения
конечных линейны комбинаций ciq>i + с2<р2 + • • • + сп<рп, так называемых
тригонометрических полиномов. Это обстоятельство будет для нас полезным,
и мы сформулируем его тремя различными способами.
5.1. Унитарные представления
125
а) Если ц - ограниченная комплексная мера и
J ф(г)|"№) = 0
s\g
для всех элементарных положительно определенных функций ф, то ц = 0.
б) Любая непрерывная функция на G может быть аппроксимирована
тригонометрическими полиномами равномерно па каждом компактном множестве.
в) Любая непрерывная положительно определенная функция ф0 может быть
равномерно аппроксимирована на G функцией я|) вида
1Иёг)= \ 4>(g)v(dg),
где Е - компактное множество элементарных положительно определенных
функций ф, a v - борелевская мера на Е (см. замечания 5.1.3).
Уже несколько десятилетий известно, что в компактном случае любое
унитарное представление может быть разложено в прямую сумму неприводимых
унитарных представлений. В нашем случае эта дискретная сумма должна быть
заменена интегралом. Пусть D - множество элементов 6 с мерой Q. Каждому 6
(Е D соответствует гильбертово пространство со скалярным произведением
(и, у)е. Образуем теперь новое гильбертово пространство
зе = \ cB&VqW),
6 ?D
состоящее из функций х=-х6, х6 ? Шь Для любого 6 ?D, с конечной нормой,
соответствующей скалярному произведению
(*> */) = ^ t*6' ys)6Q(d8).
6 ?D
Назовем $? прямым интегралом пространств SS&- Можно доказать, что любое
унитарное представление эквивалентно представлению в пространстве 3?,
являющемся прямым произведением пространств кроме того, U (g)x =
~ W6 (g) *6, в € D), где Uв (g) - неприводимое унитар-
126 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
ное преобразование для почти всех б (по мере q). Функции (^Лз (g) х, у),
зависящие от g и б, измеримы. Это разложение, вообще говоря, не
единственно.
Мы будем использовать следующее понятие: G называется P-группой, если
функция, тождественно равная единице, может быть аппроксимирована
равномерно на каждом компактном подмножестве положительно определенными
функциями, равными нулю вне компактных множеств. Если эта аппроксимация
может быть осуществлена функциями вида с * с (g), где с (g) = с (g_1) и
c(g) равно нулю вне некоторого компактного множества, то мы говорим, что
G есть Р1-группа. В частности, можно было бы испробовать функции
P(s) = ^yIc*Tc(g),
где Ic (g) - индикатор компактного множества С (см. замечания 5.1.!).
5.2. Анализ Фурье на локально компактных стохастических группах
По аналогии с гл. 3 примем следующее Определение 5.2. Преобразование
Фурье Р = Рг распределения вероятностей Р ? & (G) на локально компактной
группе G определяется соотношением
