Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Это сводится к последней теореме, но с ац = 0, так что Рп
и Тп стремятся к ехр 2 aiX-i - вероятностному оператору, соответствующе-
г
му распределению вероятностей с массой, сосредоточенной в точке ехр 2
6 G.
i
4.5. Примеры
4.5.1. Простейшим броуновским движением является движение по прямой,
х (t) = N (0, о2/), в предположении отсутствия сноса. Его функция
плотности
П*' ') = TfWexp[-^r]
удовлетворяет обычному уравнению теплопроводности
df а2 Э2/ dt ~~ 2 дх^
с начальным условием: при t = 0 вся масса в точке х = 0. На одномерном
торе имеем то же самое дифференциальное уравнение, но с идентификацией х^
и *2 при xt == *2 (mod 2л). Другими словами, мы изучаем это уравнение на
интервале (-я, я) с граничным условием / (-я, t) = / (я, t), а эта задача
имеет хорошо известное решение
оэ v= - со
Этот ряд является просто .¦ суперпозицией- предыдущего решения в точках,
конгруэнтных с л: по модулю 2л. Заметим, что R1 есть накрывающая группа
Тх.
Этот простой факт, поддается значительному обобщению. Пусть G - связная,
локально односвязная группа, предполагаемая, как обычно, локально
компактной и сепарабельной. В данном контексте можно представлять себе
сепарабельную связную группу Ли. Пусть G* есть накры-
4.5. Примеры
117
вающая группа для G с гомоморфизмом ф группы G* на G. Обозначим через N =
{g*, g*, . . .} счетный нормальный делитель группы G*, такой, что G
изоморфна G*IN, так
что образом g 6 G является g*g*, g*g*.............Разумно
выбрать G* как универсальную накрывающую группу для G; если бы нас
интересовала любая другая накрывающая группа Г для G, то Г накрывалась бы
G*.
Начнем с броуновского движения g (t), t>0, на G (см. 3.1). Мы определяем
стохастический процесс на G* выборочной функцией, следуя, исходя из
элемента е, за элементом из G*, соответствующим g (t) для 0<т<?, и
обозначая конечную точку этой кривой через g* (/). Тогда g* (t) есть
также броуновское движение с вероятностной мерой Р* на G*. Для полного
доказательства этого утверждения потребуются некоторые рассуждения,
относящиеся к теории меры, но мы предоставим их терпеливому читателю.
Более интересно следующее. Пусть 5 есть борелевское множество из G*.
Тогда Р* (S) = 0 тогда и только тогда, когда Pt (фS) = 0, так как N
счетно. Пусть G имеет меру Хаара dg и G* имеет меру Хаара dg*. Пусть Р*
абсолютно непрерывна относительно dg*:
Р?(?)- \ P*(g*, t)dg*, EczG*.
Е
Для заданного g0 d G выберем окрестность N* элемента е* столь малую, что
g*ig*N* не имеют общих элементов для разных п (g* есть некоторый прообраз
g0), и такую, что N* и ф (N*) = N изоморфны. Если Е - борелевское
множество в g0N, то ф''1? есть сумма неп?ресекающихся множеств [ф_1? П
так что
оо
Pt(?)=2 S P*(t,g*)dg* =
СО
= S S P*(t, gng*)dg* =
1 ф-lEn^JV*
CO
J yiP*(t, gng*)dg*. ф-чгпя^* i
118
Гл. 4. Стохастические группы Ли
Так как сумма под знаком интеграла не зависит от того, какой образ g*
выбирается для g, и так как мера Хаара dg* на gnN* может быть
идентифицирована с мерой Хаара dg на g0N, то
почти наверное. Это и есть желаемое обобщение. Мы использовали здесь
инвариантные слева меры Хаара.
Пусть Р - нормальное распределение на Т1. Тогда Р может быть записано как
композиция Pi * Р2, где Pi и Р2 не являются нормальными (см. замечания
4.5.1). Можно сказать, что теорема Крамера не имеет места на Т1. Отсюда
вытекает ряд интересных следствий. Представим себе центральную предельную
теорему на прямой. Мы знаем, что для того, чтобы она имела место, нужно,
чтобы каждое слагаемое в сумме было мало или имело приближенно нормальное
распределение. На Т1 при больших и существенно не нормальных слагаемых
можно все же прийти к нормальному распределению.
4.5.2. Рассмотрим теперь двумерную группу Ли, состоящую из квадратных
матриц второго порядка
- аффинную группу на действительной прямой. Этот простой, но
показательный пример будет изучаться с другой точки зрения в 5.5.1 (см.
также 7.5.1). Для того чтобы найти дифференциальный оператор броуновского
движения на этой группе, удобно получить инфинитезимальные моменты
первого и второго порядка и выписать соответствующее уравнение Фоккера -
Планка. Тогда получим
СО
E
E
где
CO
P if, g)='2iP* (t, gig*)
g =
g(t + h) = g(t)
4.5. Примеры
119
где функции е можно трактовать как нормальные случайные величины при
малых h > 0. Это эквивалентно
gi (t + Л) = ei (h) + gi (i) [ 1 + e2 (h)]
g2 {t + Л) = g2 (0 [1 + e2 (Л)]
или
gi (* + h) ~gi (t) = ei (Л) + gi (0 e2 (/г)
Яг + Л) - gz (t) = g2 (t) e2 (Л). Инфинитезимальные моменты должны тогда
иметь вид bgi
lim Е
hiO
lim Е
hi 0
lim Е
hi О
lim Е
ыо
h ~~
(Aft)(r)
h
(Ag2)2
= 01 + 02^1.
: a2gz,
= bi -j- b2g\ + 263gi, = b*g\,
lim E^^-z- = gig2b2 + g2b3.
b2 =
M о
Для удобства выделим случай bi водящий к уравнению
1, Ь3 = 0, при-
w = i^^l+sl)p]
-L *
¦<hgi)p]-
dg2
[azgzPh
Для изучения частных распределений gi и g2 нужно произвести
интегрирование соответственно по g2 и gi. Частная плотность р2 величины
