Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 34

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 82 >> Следующая

процессу Pt на G.
4.3. Закон больших чисел
107
Возможно, что при конкретном изучении распределений вероятностей на
компактной группе удобно опираться на унитарные представления. В этом
случае было бы полезно проследить связь с группами Ли.
4.3. Закон больших чисел на стохастических группах Ли
Рассмотрим треугольную систему распределений вероятностей на Gc
Рп
Р 2U Р 22 Рзи Р32> Р33
В той или иной форме будет предполагаться, что эта система
инфинитезимальна, т. е. что в каждой строке отдельные случайные величины
пренебрежимы, как это делается в классической ситуации. Более точно,
будем считать, что для любой окрестности N0 элемента е должно иметь место
равенство
lim max P"ft(Ge - JV0) = 0.
tt-"co k
Далее, мы будем предполагать, что в каждой строке Pni * Pjij = Pnj * Рпй
в классических случаях это предположение коммутативности выполнено,
конечно, автоматически. Заметим, что оно выполнено также тривиальным
образом в важном случае идентичных компонент, т. е. в случае, когда Pni =
Pnj для всех i и /.
Теорема 4.3.1. Если треугольная система обладает указанными двумя
свойствами и если
и
1) lim ^ \ Xi(g)pnk(dg)
"-"k-L N"
П
2) lim ^ \ ф(Я) pnk {dg) = 0
n-_ *'
mo Pn = Pnl * Pn2 * ... * Pnn сходится к вырожденному распределению 6е.
10S
Гл. 4. Стохастические группы Ли
Доказательство. Достаточно доказать сильную сходимость Тп = TniTn2 ¦ ¦ ¦
Тпп -> I. Но так как ||Тп - /||<2, достаточно показать, что |j(Л - I) /||
->-0 при / ? Со, так как С2 плотно в С.
Рассмотрим
[Tr,k-I\f(g)= I \f(gh)-f(g)]Pnh(dh) + if(gh) - f(g)] Pnk(dh).
G-N о
No
С первым слагаемым дело обстоит просто, так как
^ 2 || / || Pnh (Gc - N0),
U(gh) - f(g)]Pnk(dh)
Gc-N0
и из условия 2) вытекает, что
lim У. Pnh(Gc - N0) = 0.
k=1
Чтобы мажорировать второе слагаемое, разлагаем подинте-гральную функцию в
ряд Тейлора в окрестности JV0:
/ (gh) - / (g) = 2 Xff (g) xi (h) + 4~ X>Xif (2°) Xi W xi W-
i i, j
Но тогда
^ [/ igh) ~ f (?)1 Pnh (dli) ^ ^ P"h W j +
No i No
+ 4" S S I XiXif ^ \'\xiih)\-\ Xj (h) | Pnh (dh) <
i, j N0
< II / 1|г 2 \ Xi W Pnh + const' II / H2 \ Ф ih) pnh (dh).
No No
Отсюда, учитывая условия 1) и 2), получаем
lim^lltT'nft -ЛЛ| = 0.
4.4. Центральная предельная теорема
109
Но
[Тп -11 / = [TniTn2 ...Tnn-I]f = [TnL -I]f +
+ [TnlTn2-Tnl]f+ • • • +1ТщТп2- • .Tnn~TnlTn2. . .Tnn-i]f, так что
II [Tn-I] f I!< 2II • • • T'nft-i (Tnk-/)/!!<
i
< V IT,, /I / -" 0,
1
что завершает доказательство.
На действительной прямой закон больших чисел выполнен при любом среднем
значении, что вытекает из коммутативности группы действительных чисел по
сложению. Здесь можно было бы только выдвинуть предположение, что при
замене условия 1) условием
П
lim ^ \ xi{g)Pnk{dg) = ai\ ? = 1, 2, . . . , d,
Tl->CO>, , лт
h=t N0
распределенная масса сходится (к элементу ехр А, где А = 2а;Хг g Л (G).
Доказать это непосредственным обобщением предыдущего доказательства не
представляется возможным, так как отсутствие коммутативности вызывает
некоторые трудности. Поэтому мы должны отложить обсуждение этой проблемы.
4.4. Центральная предельная теорема
Если в произведении Тп = Тп1Тп2 . . . Тпп или Рщ * Рп2 * ... * Рпп
множители близки друг к другу, то можно ожидать, что Tnh ^ exp (Tnh - /).
В этом случае можно также рассчитывать на то, что эти множители
приближенно перестановочны, так что
l/n = exp %(Tnk-I)^Tn.
h-l
Соотношение этого типа существенно при изучении предельных теорем на
группах Ли. Докажем следующую теорему.
110
Гл. 4. Стохастические группы Л и
Теорема 4.4.1. Пусть вероятностные меры Рпп образуют инфинитезимальную и
коммутативную треугольную систему, такую, что
равномерно ограничены,
1) 2| \xi(g)pnh(dg)
h= i 7V0 n
2) ^ Ф G?) Pnk (dg) равномерно ограничены,
й=1 Gc
3) для любого положительного е существует такое компактное множество F
= FB, что для всех п имеет место неравенство
2Pnh(G-F)<z.
h=1
Тогда (Тп - Vn) / -> 0 для всех f ? С по норме в С.
Доказательство. При Snu = exp (Tnh - I) имеем, в силу того что при
фиксированном п все Tnh и SnA коммутируют,
(Tn - Vn)f- ... Tnh-iSnh+i ... Snn(Tnk - Snk)f, ft=1
что показывается, как в конце предыдущего раздела. Следовательно,
Й = 1
так как есть (пуассоновский) вероятностный оператор, l|S"fc|| = 1. Но
тпи - Snk = Tnh - {/ + (Tnk - /) + (Гпй27/)3 + ...} =
= - Anh(Tnh-I)\
где
д 1 f I (T'nft | {Tnh ^)2 |
= --------з[-1---4]----h...,
4.4. Центральная предельная теорема
III
так что Anh являются операторами с равномерно ограниченной нормой.
Следовательно,
II (Тп - Уп) f II < const ¦ 2 II (Tnk -Iff ||. h = 1
Достаточно доказать, что правая часть этого неравенства стремится к нулю
при п о для всех / 6 С2, так как С2 плотно в С.
Оставшаяся часть доказательства принципиально не представляет
затруднений, хотя подробное его проведение требует внушительной
вычислительной работы. Чтобы дать читателю представление о существе
доказательства, предположим, что N есть окрестность элемента е, настолько
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed