Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
можно писать
где X 6 Л (G). Но для каждого / 6 С2 можно аппроксимировать Xf
интегральными операторами
Mf{g) = Xf(g)+ \ [f(gh) - f(g)]y](dh),
J U(gh)-f(g))K(dh) -" Xf(g)
104
Гл. 4. Стохастические группы Ли
в топологии С, где кп - конечные меры. Введем теперь
Приведенная выше лемма применима, и мы видим, что М есть
инфинитезимальный порождающий оператор полугруппы вероятностных
операторов.
Чтобы прийти к общему случаю, введем меры т)п (dg) = = [1 - exp (- тр
(g))] т) (dg). Тогда (dg)/ср (g) есть конечная мера на Gc - ей
для любой / ? С2 в топологии С. Но мы знаем, что Мп есть
инфинитезимальный оператор некоторой полугруппы вероятностных операторов.
Тогда из леммы вытекает, что М как предел Мп также есть инфинитезимальный
порождающий оператор некоторой полугруппы вероятностных операторов.
Это приводит нас к следующей теореме относительно вида инфинитезимального
порождающего оператора полугруппы вероятностных операторов.
Теорема 4.2.1. Пусть Tt, t>0, есть полугруппа вероятностных операторов на
сепарабельной группе Ли. Tt имеет инфинитезимальный порождающий оператор
М, определенный на С2 соотношением
где at - действительные числа, atj образуют действительную, симметричную,
неотрицательно определенную квадратную матрицу порядка d, а т] - конечная
мера
Mnf(g)= ^ lf(gh) - f(g)][i)(dh) + ln(dh)].
Gc~e
Mnf (g) = 2 aixif (s) + 5 [/ (gh) - f (?)] ^ (dh) +
где - конечная мера, такая, что
J U(gh)~f(g)]\ln(dh) -> 2 aijXiXjf (g)
Mf (g) = 2 (S) + 2 avX'Xjf (8) +
4.2. Однородные процессы на группах Ли
105
на Gc - е. Оператор М на С2 определяет Tt. Обратно, если М определено
указанным выше образом на С2, то существует одна и только одна полугруппа
вероятностных операторов Тимеющая М своим инфинитезимальным порождающим
оператором в С2.
По аналогии со случаем действительной прямой введем следующее определение
(см. замечания 4.2.4).
Определение 4.2.1. Вероятностная мера Р на группе Ли называется
нормальным (гауссовским) распределением, если существует полугруппа
вероятностных операторов Tt с инфинитезимальным порождающим оператором М
на С2:
Вернемся на момент к компактным группам. Рассмотрим последовательность
компактных групп
и гомоморфизмы hn, отображающие Гп+1 на Г". Введем множество G
последовательностей g = (уь у2, Уз> • • •) таких, что уп 6 Гп, уп - hn
(yn+i), и определим умножение двух последовательностей g' = (у'п), g" -
(у"п) соотношением
g = g'g" = (YWu ЪЪ- •••)•
Затем в G вводится топология с помощью окрестностей N, где принадлежность
N равносильна требованию, чтобы конечное число попадало в окрестности Nn
СИ Г". Тогда G есть компактная группа и называется пределом, групп Гп.
Пусть теперь Р[п) - непрерывные однородные процессы, определенные на Г)г,
п = 1, 2, ... Нам необходимо согласованное определение, чтобы Рбыло
распределением вероятностей в Г", индуцированным распределением Pjn+1)
посредством гомоморфизма hn+i. Тогда на G определен непрерывный
однородный процесс.
и
щ (g) = 2 a'xJ te) + 2 ачхм (8) ^/(g)= J f(gh)P(dh).
46
G
106
Гл. 4. Стохастические группы Л и
Прежде всего, исходные распределения Р\п) определяют распределение
вероятностей Pt на G для каждого t > 0. Действительно, пусть / (g) -
непрерывная функция на G, зависящая только от Yi.........Yп- Тогда
значение
Ц = J / (Yi • • ¦ Уп) Р\п) (dyi . . • уп)
G
вполне определено. Используя компактность G и равномерную аппроксимацию
такими функциями, можно непосредственно продолжить L до положительного
функционала на С (G). Это определяет регулярную вероятностную меру Pt на
G. Однородность, Pt+S = Pt * Ps, устанавливается аналогичным образом.
Наконец, имеет место непрерывность, так как если N есть произвольная
окрестность е, содержащая Yi, Yг, • ¦ • , уп, то Pt (АО = Р\п) (N) при t
j 0, а это эквивалентно непрерывности (см. замечания 2.3.!).
Заметим, между прочим, следующее. Если для всех п согласованным образом
определены последовательности вероятностных мер Р<*\ Р{гп\ . . . на Г",
то они определяют последовательность Рь Р2, ... на G. Если теперь для
каждого п вероятностные меры Р[п\ Р[п\ . . . сходятся к Q<n), то это
определяет Р 6 ИР (G) и Рп -у Р. Это может быть доказано, как и выше, с
помощью' равномерной аппроксимации.
Вернемся теперь к однородным процессам. Заданная компактная группа G
может быть представлена как предел групп Ли Г" (см. замечания 4.2.5). Но
мы знаем, какой вид могут иметь однородные процессы на группах Ли, т. е.
мы знаем, как охарактеризовать их инфинитезимальные порождающие операторы
(см. теорему 4.2.1). Для данного непрерывного однородного процесса Pt на
G инфинитези-мальный порождающий оператор Мп процесса Р[п\
индуцированного в Г" процессом Pt, имеет известную форму для любого п.
Более интересно, что если оператор М сводится при любом п к оператору Мп
указанного вида, если ограничиться Г", то операторы Мп порождают
множество процессов Р\п\ определенных согласованным образом,
и, как мы видели выше, это приводит к непрерывному однородному
