Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
оставленной без рассмотрения, являются свойства "сходимости",
определяемой соотношением d (Рп) ->-0.
Если G есть компактная группа, то сказанное выше должно быть
модифицировано, так как преобразование Фурье распределения Р в этом
случае состоит из последовательности матриц Р0,
....................Если заменить в опре-
делении dy (Р) абсолютную величину нормой, то мы приходим к мере
рассеяния вида
со
d(P)= - 2 Hn\og\\Pn\\,
П- 0
где Hv - положительные константы. Этот функционал уже не обязательно
аддитивен, но так как
/\ , л ,
1 рш . р<2) И _ II ршр<2) I ^ II р<1) II || р(2> ||
|| Г П П 11 -'' j | г П г П И ''а- 11 Г п |, ' j | Г п 11,
то
d (Pf*P2) > d (Pi) -j- d (P2).
Заметим, что нормированная мера Хаара, как и следует ожидать, имеет
бесконечное рассеяние.
Наконец, если G есть общая локально компактная группа, то нужно исходить
из преобразований Фурье типа, используемого в гл. 5. Меры рассеяния при
этом изучаться не будут.
94
Гл. 3. Стохастические группы
В случае, когда G - коммутативная группа с инвариантной метрикой (g', g")
= (g' + h, g" + h), можно ввести меру рассеяния следующим образом (если G
- группа Ли, то можно представлять себе (g',g") как инвариантную риманову
метрику). В аддитивных обозначениях можно записать (g',g") в виде ||g'-g"
||. Заметим, что эта норма не является линейной, так как для постоянного
скаляра с не обязательно имеет смысл eg. Определим
Если допустить значение + оо, то эта величина всегда определена. Мы не
можем утверждать, вообще говоря, что существует единственное значение g,
при котором реализуется минимум (представьте себе компактную группу с
нормированной мерой Хаара). Имеем 0 (Р) <+ оо,
причем d (Р) = 0 тогда и только тогда, когда Р - вырожденное
распределение, сосредоточенное на единственном элементе группы G. Далее,
Для того чтобы убедиться в этом, учтем, что при g = g,Jr g"
Здесь мы рассматриваем h' и h" как два независимых элемента
стохастической группы с распределениями вероятностей соответственно Р' и
Р". Возводя в квадрат и интегрируя, получаем нужное соотношение с помощью
неравенства Шварца. Заметим, что равенство в общем случае не обязано
иметь места. Типичный пример: если G - компактная группа, а Р' = Р"-
нормированная мера Хаара, то
(см. также замечания 3.3.3).
Так же, как в разд. 3.2, может быть сформулирована и доказана
Теорема 3.3.6. Пусть Р - симметричное распределение вероятностей на
локально компактной коммутатив-
d(P'*P")<d(P') + d(P").
\h'+h"-g\\<\\h'-g'\\ + \\h"-g"
d(P'*P") = d(P')<2d (Р')
3.4. Примеры
95
ной группе G. Вероятностный оператор Tf(g)=\f(gh)P(dh)
G
имеет своим спектром множество значений преобразования Фурье Р (у).
Доказательство предоставляется читателю.
3.4. Примеры
Рассмотрим циклическую группу G из т элементов О, 1, 2, . . . , т- 1 с
групповой операцией сложения
по модулю т. Характеры (g, у) - ехр ^ 2лг У =
= 0, 1,2, . . . , т - 1, образуют группу Г. Распределение Р вероятностей
Р (g = v) = pv, v = 0, 1, 2, . . .
. . . , m - 1, на G имеет преобразование Фурье
m-i
v=0
Последовательность композиций Рп* с преобразованиями Фурье [Р (у)]"
сходится, очевидно, к равномерному распределению с преобразованием Фурье,
равным единице для у = 0 и нулю в остальных случаях, тогда (и только
тогда), когда | Р (у) | <С 1 при у Ф 0. Следовательно, эта сходимость
имеет место, если носитель Р не содержится в классе смежности какой-либо
подгруппы группы G, а любая подгруппа группы G является, конечно,
циклической группой, порядок которой есть делитель т.
Простые особенности анализа Фурье на & (G) делают возможным более
детальное исследование этой стохастической группы.
Группа вращений окружности Т1 почти столь же проста. Пусть G = Т1 = {g j
0 g 2л} с обычным сложением и идентификацией по модулю 2л. Характерами
являются elys, у = . . . -1, 0, 1, . . . , так что преобразование
96
Гл. 3¦ Стохастические группы
Фурье имеет вид
2Л
р (y) = \ eiyFP (dg)-
о
Последовательность Рп* сходится, как и раньше, к равномерному
распределению, если Р не содержится в классе смежности какой-нибудь
подгруппы. Это полностью решает вопрос сходимости, так как подгруппы
являются конечными циклическими группами.
Мы предоставляем читателю возможность рассмотреть эти два случая в свете
того, что говорилось в разд. 3.2 и 3.3. Изучение родственных групп ТТ не
вызывает никаких дополнительных затруднений.
Для конечных групп безгранично делимые распределения могут быть
охарактеризованы следующим образом (см. замечания 3.4). Пусть G есть
конечная группа порядка п и Н - произвольная подгруппа группы G.
Обозначим через |ян нормированное равномерное распределение на Н.
Рассмотрим групповую алгебру А, в которой f-h обозначает композицию
функций / и h, определенных на G.
Теорема 3.4.1. Выберем такой элемент f (g) d А, что
1) / (g) является Н-инвариантным:
fh = hf = f, heH;
2) =0;
3) f\g) >0 при glH, и определим
со
fV
Р - ехря / - |% + 2 •
1
Эти и только эти Р могут быть разложены: Р = Р"*, и = 1,2,....
