Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
Если добавить условие Рп бе, то получим представление
Р = exp f
в виде сложного пуассоновского распределения; здесь Н = {е}.
Глава 4 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ЛИ
4.1. Предварительные сведения о группах Ли
В дифференцируемом многообразии можно рассчитывать на построение
исчисления вероятностей и описание распределений вероятностей в терминах
производных, дифференциальных уравнений и т. п. (см. замечания 4.1.i).
Однако в соответствии с основной темой этой книги мы ограничимся группами
Ли. Чтобы не затемнять основных идей усложненными, хотя по существу и
ясными, рассуждениями, связанными с предельными переходами, мы рассмотрим
основные шаги доказательств и только кратко набросаем остающиеся детали.
Дальнейшие подробности читатель может найти в работах, цитированных в
замечаниях.
Прежде всего введем необходимую терминологию и обозначения. Пусть G есть
сепарабельная группа Ли размерности d. Обозначим через A (G)
соответствующую алгебру Ли инфинитезимальных правых переносов группы G.
Введем множество С, состоящее из непрерывных функций на одноточечном
компактном расширении Gc группы G; это банахово пространство с нормой ||
/ || =max|/(g)j.
g
Для / ? С и инфинитезимального преобразования К 6 А определим
Vj; ^у('0 f~f
Yf-- lim------т------,
ft J.0 п
где
Чг (t) = exp (tY)
и где предел должен существовать в топологии С, т. е. равномерно на Gc.
Обозначим через множество / ? С, для которых Yf определено. Пусть Ch есть
множество таких /, что YiY2 ... Yhf определено для любых Кь Y2, ¦ . . ,
Yh6 A (G). Сделаем его банаховым пространством,
98
Гл. 4. Стохастические группы Л и
введя норму
II f Ik - II f l| + 2 II-^>/11+ ¦ • • + 2 II XixXi2- ¦ -Xijk ||i i h,
...,iA
где Xu X2, ¦ ¦ Xh - выбранный базис в Л (G). Точно так же введем
аналогичные пространства C'h, исходя из левых (а не правых) переносов.
Все эти пространства плотны в С. Мы используем в окрестности е
канонические координаты Xi, х2, . ¦ Ха, связанные с Х1г Хг, ¦ ¦ ¦, Xd, и
предполагаем также, что xt распространяются на Gc с xt 6 С2. В
окрестности е введем функцию
ф (gH 2
1
Можно распространить ф на Gc так, чтобы ф принадлежала С2 и была
ограничена снизу положительным числом вне каждой окрестности е.
Введем функционалы
D,f = hm------ h-------,
h jO
Dijf - lim
f (Лл'г (A) r\Xj (h)) - f(t)Xi (h)) - f (цх] (h)) + f(e) P
если эти пределы существуют; в С2 они дают соответственно значения Xtf
(е) и XiXjf (е).
Объектом нашего исследования будут являться боре-левские вероятностные
меры Р на Ge и полугруппы Pt таких вероятностных мер, Pt * Ps - Ps+t', s,
t>0. Pt должны быть непрерывны в смысле слабой сходимости вероятностных
мер на Gc (заметим, что это не то же самое, что слабая сходимость на G),
Ph при h j 0.
Соответствующие операторы
определены для / ? С и образуют сильно непрерывную полугруппу.
4.2. Однородные процессы на группах Ли
99
4.2. Однородные процессы на группах Ли
Если только инфинитезимальный порождающий оператор М полугруппы Тt не
является ограниченным, то мы сталкиваемся с обычными трудностями в силу
того, что М не определен всюду на С. Но теперь в нашем распоряжении более
подробные сведения о группе, и мы можем говорить
о дифференцируемых функциях и т. п. Это делает возможным описание М в
терминах дифференциальных и интегральных операторов. Заинтересованный
читатель может сравнить сказанное ниже с обычным выводом формулы Леви -
Хинчина на действительной прямой.
Покажем сначала, что М может быть выражен некоторым образом в
подмножестве множества С. Далее нужно показать, что М, заданный на этом
подмножестве, действительно определяет Tt. Наконец, мы покажем, что любой
М этого вида порождает непрерывный однородный процесс.
Рассмотрим однородный случайный процесс (см. разд. 2.2), принимающий
значения из Gc, с распределениями вероятностей Pt и вероятностными
операторами Тt. Так как Tt образуют сильно непрерывную полугруппу,
инфинитезимальный оператор полугруппы Tt определен на плотном
подмножестве 3 множества С. Одако Tt также сильно непрерывна в С'2 (см.
замечания 4.2.2) и удобно ввести N', положив
N't = \\m'Thf7'f ,
/цо п
на некотором подмножестве S', плотном в С'г.
Немного изменим теперь функцию <p (g). Для любого е > 0 можно найти такую
<р' 6 3) П С'г, что || <р - <р' <
<е, ф' (е) =Огф' =D;j;ф' =0 при "i Ф j и DHц>' =2, и ф' положительна на
Gc - е.
Докажем теперь, что предел
Af = n mZVWzTW
/40 п
существует для каждой / (g) из класса % функций из С, являющихся дважды
непрерывно дифференцируемыми. Для заданного положительного б, используя
обычное рас-
100
Г л. 4. Стохастические группы Ли
суждение, выбираем такую /б ? 35 П С2, что \ f (g) -
- /а (g) |<8<р' (g). Но тогда
X \ [/ (8) - / т Ph (dg) = ~[\f (g) - f& (g)] ph (dg) +
"с "с
-i -J- $ \f&(g)-fb(e)}Ph(dg),
так как /в (e) - / (e). Предел второго слагаемого существует, так как /б
? iZ>' П С2- Но
X S U {g)-fa(g)] Ph(dg)<-^ \ Ф '(g)Ph(dg),
сс "с
и так как ф' ? j2>, предел ~ ^ ф' (g) Ph (dg) существует.
