Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
малая, что имеют место приведенные ниже разложения в ряды Тейлора с
установленными остаточными членами. Запишем
(Tnk-Iff(g) =
= [ { 5 [/ (gxy) - f igx) - f (gy) + f (g)] Pnh (dy)J Pnh (dx) =
= 5 \ \ $ + S I +\\=iik+hh+hk+hk-
Gr-N Gc-N Go-N N AT Gc-N N A'
Для оценки Iih заметим, что
|/iftl<4||/||nh(Gc-A0,
так что
2 I hu 1 < 4II f I! 2 Pnk (Gc - N) • max Pnh (Gc - Л/) -> 0 k=i k=i
в силу условия 2) и того, что система {Рпи} инфинитези-мальна.
Для /2й напишем
J [/ (gxy) - f (gx) - f (gy) - f (g)] Pnh (dy) =
TV
= J If (gxy) - f (gx)] Pnk (dy) - [\f(gy)-f (g)| Pnh (dy)
N N
112
Гл. 4. Стохастические группы J1 и
и получим, применяя теорему Тейлора,
J 1/ igh) - f (g) 1 Рпи (dh) = ^ Xtf (g) J (A) Pnh (dh) +
N i N
\ J}XiXjf(gQ)xi(h)xj(h) Pnk(dh),
2
N i, j
так что
5 If (gh) - f te)] Pnk (dh) | < || / 111 • S j S ** (h) Pnk (dh) J +
iV i N
-f const-jj / ji2 ф (h)Pnlt(dh).
N
Следовательно, суммируя такие члены, получим
k=[ k-1 i N
+
+ const ¦ U ф (h) Pnh (dh) J Pnh (Gc - N),
что стремится к нулю при п ->оо.
В четвертом интеграле обе переменные интеграции х и у изменяются в малой
окрестности N, и разложение в ряд Тейлора и кропотливые выкладки,
аналогичные проведенным выше, показывают, что вклад этого интеграла мал
при больших п. Третий интеграл
hh= J -Pnh(dy)
Gc - IV Л
более интересен.
При изучении функции
f (gxy) - f (gy) = / Igy (Г1 xy)] - f (gy),
где x меняется в некоторой малой окрестности элемента е, мы не можем быть
уверены, что у~гху изменяется в некоторой малой и фиксированной
окрестности элемента е для всех у ? Gc - N. Из-за этой трудности введено
условие 3).
4.4. Центральная предельная теорема
113
Запишем ¦ . ¦
= ( \ J ){ 5 \f{gxy)~f{gx)-f(gy) + f(g)] X
. G- F , F-N , , ЛГ
X Pnh (dx) | Pnh (dy) + ^ [/ (g) - / (gx)] Pnk (dx) Pnh (со),
N
где последний член есть вклад элемента у = со. Первый Интеграл не
представляет затруднений, так как
П П - - . ''
2 | $ 5 |<4Н/Н2 Pnk(G-F)<4\\f\\s
h=l G-F N h=l
в соответствии с тем, как было введено множество F в формулировке
теоремы. Интегралы
¦ \-lfig)~-f.(gx)lPnk(dx)Pnд(ю) .
N
И
5 { 5 [/ (gx) -f(g)\ Pnk (dx)} Pnk (dy)
F-N 1V
снова подвергаются разложениям в ряды. Остается член $ { J [/ (gxy) - f
(gy)\ Pnh (dx)} Pnh (dy).
F-N IV
Из разложения в ряд имеем
$ [/ (gxy)f {gy)\ Pnh (dx) < || / ||i2 | J Х1(у~'ху) Pnh (dx)
iv ¦ i -iv ¦
+ const • li f |j2 ^ cp (г/-1 xy) Pnk (dx).
N ¦
Решающим обстоятельством является то, что у меняется только на компактном
множестве. Максимумы членов в правой части достигаются тогда для
некоторых значений г/i, . . ,,'yd и у о, так что
П ... . П ,
S.| $ . $ I <11 f -2 {2. S xi(y-i1xyi)Pnh (dx) +
й=1 F-N IV й=1 г ЛГ
: ' ¦ •' const- ч (г/^хг/0)Рг,,Л^)} P-nk(F-~N)-
+О
¦ -f ' О'.;. с.,::j
114
Г л. 4. Стохастические группы Ли
при п ->-оо, так как система является инфинитезимальной. Это завершает
доказательство теоремы.
Теперь мы приходим к одному из вариантов центральной предельной теоремы.
Теорема 4.4.2. Пусть {Pnh} - коммутативная инфинитезима^ьная система
распределений вероятностей на группе Ли, такая, что
1) lim ^ \ Xi(g)Pnk(dg) = ai,
n_>CO ft=l No
п *
2 | Pnh №g) | равномерно ограничены,
h=i N0
П
2) lim ^ \ xi{g)xJ{g)Pnh(dg) = aiJ,
п-*оо , . •;
k=i N о
п
3) lim 2 \ 4>(g)pnh(dg) = 0
п~?СО _ . _ V ..
П~*'СО Gc-Nо
для каждой окрестности N0 элемента е.
Тогда Рп = Рп1 * Рп2 * ... * Рпп сходится к нормальному распределению,
порожденному оператором
M^^atXi + ^aijXiXj.
i i, j
Доказательство. Используя теорему 4.4.1,
71
достаточно только рассмотреть Рп =ехр 2 (Tnh - I) и его
1
предел при п оо. Но Рп может быть вложено в полу-
71
группу exp?2(^nft - I) сложного пуассоновского типа, и его
инфинитезимальный порождающий оператор может
4.4. Центральная предельная теорема
115
быть записан в виде (/ 6 С2)
П П
2 (Tnk-i)f(g)=2 J [/(^)-/(^)]я"А(^)=
А=1 fc=l Gc
=2aW(?)+ J [f(gA)-/(g)-2^/(g)^wlT,n(dA)
Gc-e
где
Ф(А) '
Лп (dh) = 2 Ф (h)Pnk(dh),
"!'"=Нч^+ S
No Gc-iVo
Используем теперь условие 1), чтобы показать, что первый член в ain)
стремится к а;, и условие 3), чтобы показать, что второй член стремится к
нулю. Далее, т)" стремится к нулю вне любой окрестности элемента е.
Отсюда следует, что имеет место сильная сходимость
2 (Tnh-I)f-* %atxtf + 2 atjXtXjf,
h=i i i, j
а, значит, (см. замечания 4.2.3 и разд. 4.2) Рп и Тп сходятся
к ехР {2 @iXi + 2 anXiXj}, что и утверждалось.
" i,j
Вернемся теперь на некоторое время к закону больших чисел. Перефразируем
теорему 4.3.1 следующим образом.
Теорема 4.3.1.а. Пусть {Рпь) есть инфинитези-мальная и коммутативная
система распределений вероятностей, такая, что
П
1) lim 2 \ xi(g)Pnk(dg) = ai,
П"*°° h=i N0 п
Pnk(dg)| равномерно ограничены,
k=l N0
¦ п
2) lim 2 \ <f(g)Pnk(dg) = Q.
n-VCO - . V
ИС°Ь1 Cc
116
Гл. 4. Стохастические группы Ли
Тогда Рп ----- Pni * Рп2 * ... * Рпп сходится к вырожденному
распределению, вся масса которого сосредоточена в точке ехр 2 агХ, 6 G.
г
