Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 29

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 82 >> Следующая

V Л
нимает только значения 0 и 1, поскольку (Р)2 = Р. Это показывает, что V
содержит только один элемент 0, так что Г дискретна и, следовательно, G
компактна. Это доказывает следующую теорему (см. замечания 3.3.4),
которая сводит изучение идемпотентных мер к компактному случаю.
Теорема 3.3.3. Идемпотентная вероятностная мера на коммутативной локально
компактной группе необходимо сосредоточена на некоторой компактной
подгруппе.
Нетрудно модифицировать лемму 3.2.1 для нашего случая. Действительно,
если Р (y) == eia, то вся масса при распределении Р должна находиться на
множестве Аа = {я I (М, Y) = е*"}> которое является классом смежности
замкнутой подгруппы А0.
Лемма 3.3.1. Вероятностная мера Р на локально компактной коммутативной
группе, преобразование Фурье Р (y) которой принимает значение eia, по
модулю равное единице, имеет массу, сосредоточенную на некотором классе
смежности А ".замкнутой подгруппы А 0 группы G. При этом Р (у) = eia для
всех у из некоторого класса смежности замкнутой подгруппы В группы Г,
аннулирующей Аа, (g, у) = 1 для всех g € Аа, Y ? В.
На локально компактной (но не компактной) коммутативной группе мера Хаара
бесконечна и йе может быть норми-
3.3. Коммутативные локально компактные группы 91
рованием превращена в вероятностную меру. Поэтому теорему 3.2.5
непосредственно нельзя применить. В некотором смысле остается
справедливым, что композиция стремится выравнять распределения на G.
Действительно, рассмотрим класс & (G) абсолютно непрерывных распределений
и определим меру концентрации соотношением
C(P)=\p4g)n(dg),
G
где р (g) - Р (dg)/\i (dg). Рассмотрим распределение Р4 конечной
концентрации С (Pi) и подвергнем его композиции с Р2. Концентрация Р4 *
Р2 равна тогда
С (Р,*Р2) = ^ ]2 И (dg) = J |Л (у) Рг (у) \2т (dy) <
G Г
< J ! Л (у) |2 m (dY) = J ]2 (i (dg) = С (P4)
Г G
в силу соотношения Парсеваля; т (dy) обозначает соответствующим образом
нормированную меру Хаара на группе характеров Г.
Теорема 3.3.4. При принятом выше определении композиция не увеличивает
концентрации (см. замечания 3.3.2).
Как мы видели, анализ Фурье распределений вероятностей на локально
компактной коммутативной группе вполне аналогичен тому, который
используется на действительной прямой. Примечательно, что наши знания о
вероятностных предельных теоремах на таких группах не отличаются полнотой
(см. замечания 3.3.4).
В этой связи можно было бы поставить вопрос о мере рассеяния, ведущей
себя более или менее аналогично дисперсии. Непосредственное обобщение
понятия дисперсии возможно в линейном пространстве (см. 6.1), но мы можем
прийти к интересным понятиям и в отсутствие линейной структуры.
Пусть сначала G - локально компактная коммутативная группа. Для заданного
распределения вероятностей
92
Г л. 3. Стохастические группы
Р на G образуем величину
dy(P)= log \Р (у) \,
которая либо является неотрицательным действительным числом, либо
принимает значение оо. Для любого характера у ? Г функционал dy (Р),
определенный на qJ- (G), является аддитивным:
dv (Pt*P2) = - log j P!*P21 = - log | P: | - log I ?2 J =
= dy (Pj) -| dy (?2).
Если мы применим к этим dy (где у изменяется в двойственной группе Г)
некоторую линейную операцию, то придем к некоторому аддитивному
функционалу d (Р), который примем в качестве нашей меры рассеяния d (?) =
<?dy (?).
Мы пока не уточняли, как должен пониматься линейный оператор X¦ Это можно
сделать с помощью борелевской меры Н, определенной на Г:
d (Р) = X dy (?) = jj dy (?) Н (dy). г
Удобно предположить, что s (Н) - Г. Тогда имеет место Теорема 3.3.5.
Функционал
d (?) = - ^ log [ Р (у) | II (dy) г
является мерой рассеяния в том смысле, что
а) 0 •< d (?) < 00,
б) d (Р!*Р2) = d (Pi) 4- d (Р2),
в) d (?) =0 тогда и только тогда, когда Р сводится к вырожденному
распределению 6g,
г) при композиции d (?) не убывает.
Доказательство теоремы совсем просто. Утверждения а), б) и г) проверяются
непосредственно. Для того чтобы убедиться в выполнении утверждения в),
заметим, что из d (Р) = 0 вытекает, что
I dy (?) | = 0
3.3. Коммутативные локально компактные группы
93
для всех у 6 Г, так как носителем меры Н является вся группа Г, a dv (Р)
- непрерывная функция от у. Образуем симметризованную вероятностную меру
S = Р * Р, соответствующую случайному элементу gh-1, где g и h независимы
и имеют распределение Р. Преобразование Фурье
меры S имеет вид Р (Р) = | Р j 2== 1, так что S - вырожденное
распределение бе. Следовательно, распределение Р должно быть
сосредоточено на некотором постоянном элементе g, что доказывает
утверждение. Обратное очевидно.
Может оказаться интересным рассмотрение других форм оператора X, особенно
таких, которые локальны в единичном элементе е. Под этим мы
подразумеваем, что оператор использует только те dy (Р), у которых у
близко к е. Далее это не развивается, но читатель заметит, что это
связано со способом введения обычной дисперсии. Другой проблемой,
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed