Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гренандер У. -> "Вероятности на алгебраических структурах" -> 37

Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.

Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах — М.: Мир, 1965. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): veroyatnosteynaalgebraich1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 82 >> Следующая

g2 удовлетворяет тогда уравнению др2 1 д2 , 2 . д , .
-аг=~w2[a2g2P2)-Это уравнение .имеет решение
Рг (gz) ¦-
1
exp
log g2 -
(S-tO*
21
что не удивительно, так как это плотность логонормального распределения,
что естественно ожидать. С точки зре-
120
Гл. 4. Стохастические группы Ли
ния ^-координат групповая опёрация есть просто умножение, и так как мы
должны иметь дело с большим числом независимых сомножителей, каждый из
которых близок к единице, то естественно ожидать логонормального
распределения. Частная плотность pi величины gi удовлетворяет уравнению
'
Чг = т ж[(1 + ft2) Pi] ~ Ж[(а1 + a2gl) Р2] •
Интересно, что может существовать стационарное распределение для gi (но,
конечно, не для g2 за тривиальным исключением). Такая стационарная
плотность должна удовлетворять уравнению
Y 4gf К1 + &) Pi] - ^ [("i + azgi) Pi] = 0,
так что
Y -щц К1 + ??) Р^ ~ Pi = 4 (1 + ??) Pi -
- [ai4-(a2- l)gi] Pi = Ci,
с общим решением
Pi (gi) = (1 +g\T2-1 exp (2flj arctggO x
Si
X | 2Ci (1 -f /i2)~r'2 exp (- 2ai arctg h) du -f- C2 J .
о
При а2>1/2 эта функция неинтегрируема на (-оо, оо) .и, следовательно, не
является плотностью. При а2 < V2, интеграл внутри квадратных скобок ведет
себя как g~2a*+l, так что, для того чтобы получить плотность, нужно
положить Ci = 0. Тогда мы получим стационарную плотность
Pi (gi) = С2( 1 +g?)02-1 ехр (2ai arctg gt).
Следствия из этого будут изучены позднее.
4.5.3. Рассмотрим группу G дробно-линейных преобразований ::
Zl + Z
4.5. Примеры
121
оставляющих инвариантным единичный открытый круг C={z||z| -<1}- Читатель,
знакомый с неевклидовой геометрией, узнает здесь параллельные движения на
плоскости Лобачевского в круговой модели. Предположим теперь, что в
групповом произведении Zi ° г2 ° . . . ° гп множители независимы и все
имеют одинаковое распределение вероятностей Pnh = Рп и что Рп инвариантны
по отношению к вращениям (изотропны) в С; тогда можно положить Pnk -"-6е
и применить теорему 4.4.2.
Это приводит к броуновскому движению на С, соответствующему оператору
Лапласа. В этом специальном случае плотность может быть получена в явной
форме (см. замечания 4.5.3).
Глава 5
ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
5.1. Унитарные представления
Для двух типов групп, исследованных в гл. 3, мы существенно опирались на
компактность или предположение коммутативности, а в гл. 4 мы использовали
дифференцируемость. Теперь, когда мы предполагаем группу локально
компактной, мы можем ожидать больших трудностей, и в то же время
сталкиваемся с новыми задачами, бросающими вызов вероятностной интуиции.
Одной из главных задач общей теории стохастических групп является
создание связной картины вероятностного поведения локально компактных
групп. В настоящее время наши знания в этом направлении имеют серьезные
пробелы, и очевидность этого будет болезненно чувствоваться читателем при
чтении следующей главы.
Напомним сначала читателю некоторые основные факты относительно
представлений, положительно определенных функций и т. п. для локально
компактных групп. Как и раньше, мы будем рассматривать только
сепарабельные группы; это ограничение может быть не очень существенным и
делается главным образом из соображений удобства. Пусть G такая группа.
Рассмотрим унитарное представление г = (SB, U (g)), где 38 -
сепарабельное гильбертово пространство, a U (g) - унитарное
преобразование пространства <§{1 при любом g ? G. Мы требуем, чтобы для
любого z^Si функция U (g) z, принимающая векторные значения, была сильно
непрерывной (заметим, что здесь это эквивалентно слабой непрерывности) и
чтобы U (g) удовлетворяла уравнению U (g,) U (g2) = U (g$2) Для всех gu
gi ? G. Если не существует нетривиального замкнутого подпространства
пространства $?, инвариантного слева для всех U (g), g в G, то г
называется неприводимым. Так же, как и для компактных групп (см. разд.
3.1), мы, по суще-
5.1. Унитарные представления
123
ству, изучаем классы эквивалентности. Два различных класса состоят из
неэквивалентных представлений. Заметим, что для компактных групп всегда
можно выбрать в качестве пространства $?, соответствующего неприводимому
унитарному представлению, конечномерное унитарное пространство, а для
коммутативных групп даже одномерное пространство.
В качестве примера пусть $? будет гильбертовым пространством всех функций
/ (h) с интегрируемым квадратом относительно инвариантной слева меры
Хаара. Определим U (g) соотношением U (g) / (h) = Lgf (h) = f {g~1h).
Тогда U (g) - унитарное (но не обязательно неприводимое) представление и
называется левым регулярным представлением.
Пусть {$?, U (g)} - унитарное представление группы G. Введем
комплекснозначную функцию ср (g) = (U (g) z, z) для некоторого z в $?¦
Тогда для любого п и любых комплексных чисел си с2, . • ., сп имеем
П п
2 CvCjj,(p (gjxgv) = I) 2 C\U(gv)z I) >0.
v, д=1 v=l
По аналогии с действительной прямой функцию, удовлетворяющую такому
неравенству, будем называть положительно определенной на G. Мы будем
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 82 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed