Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
простейшем случае, если ряд
Р(&)= 2 пта{$ m{$ (g)\ {a\f} = А/,
г, г, j
сходится равномерно к неотрицательной функции и если А о = /, то А г есть
преобразование Фурье абсолютно непрерывного распределения вероятностей с
плотностью р (g). Чтобы убедиться в этом, заметим, что р (g) непрерывна
и, следовательно, интегрируема на G, р ? Lt (G). Далее, в силу
соотношений ортогональности для т,
т\? (g) Р (g) |i (dg) = а[г:\
G
и, в частности, для г = О
S
\ Р (ё) И (dS) = 1 -
G
что доказывает утверждение. В общем случае нужно применить какой-нибудь
метод суммирования для обращения. Один из таких методов заключается в
следующем. Рассмотрим убывающую последовательность окрестностей Л\ Ц) ID
N2 3 N3 ZJ . . . единичного элемента, стягивающуюся к е: [\ N h = е. Для
каждой N из этой последовательности
3.2. Компактные стохастические группы
77
обозначим через fN (g) неотрицательную функцию, равную нулю вне N и
такую, что
J fN (g) Ц (dg) = 1 •
G
Эти функции могут быть выбраны с большой свободой, но так, чтобы ряды
2 "г/нл где f%j = J/w (g)m$ (g)p(dg), г, i, 3 G
сходились абсолютно.
Теорема 3.2.3. Если для любого N = Nh ряд Pk (g) = 2 nM^fraj (g)
r, i, j, a
равномерно сходится к неотрицательной функции и А0 = I, то {Аг} есть
преобразование Фурье распределения Р 6 & (G). Распределение Р является
слабым пределом абсолютно непрерывных распределений с плотностями ph (g).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как | т(0 (g) ] < 1, | aW | < <1, то ряд
сходится равномерно, и матрицы
[2 a№; i, / = 1, 2, ..., nrj = ArF?,
a
где
Fr={frij; I, /=1, 2, . .., nr},
являются преобразованиями Фурье абсолютно непрерывных распределений с
плотностями ph (g). Но для любого г имеем Fr ->/ при N \е, так что ArF? -
*-АТ, чем доказательство завершается.
Можно сформулировать ряд других критериев того, что заданное множество
матриц Л(г> является преобразованием Фурье распределения вероятностей на
G (см. замечания
3.2.!). Однако, как и в случае действительной прямой, эти критерии не
очень удобно применять в конкретных ситуациях.
Изучение поведения Рп* для больших значений п сводится с помощью
изоморфизма Р ->¦ Р к изучению пове-
78
Гл. 3. Стохастические группы
дения (Р)п. Высокие степени матрицы тесно связаны с ее наибольшим по
абсолютной величине собственным значением к, и важно найти критерии того,
что | к [ < 1.
Лемма 3,2.1. Если некоторое РГ (г ф 0) имеет собственное значение к на
единичной окружности, ] Я, | = 1, то носитель s (Р) должен содержаться в
замкнутой собственной подгруппе А группы G или в некотором классе
смежности gaA.
Доказательство. Предположим, что k = eia есть собственное значение РТ,
так что существует нетривиальный вектор г, такой, что Prz = кг. Тогда
I 2 II = 11 PrZ\\= II 5 Mir) (g)P(dg)z\\<
G
< J \\M{r)(g)z\\P(dg)<\\z\\,
G
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда
s (Р) Cl Аа = {g j M{r) (g) z = eia z).
Множество Ao = {g \ (g) z = z} является замкнутой,
собственной [заметим, что М(g) неприводимо] подгруппой. То, что Аа =
goAa, go 6 Аа, завершает доказательство.
Можно показать, что если s (Р) не содержится ни в какой такой подгруппе
или классе смежности, то [| Рт |[ < 1 (см. замечания 3.2.J).
Если распределение вероятностей не сосредоточено на какой-нибудь такой
подгруппе или классе смежности, то тогда Р,.п* = (Рг)п ->-0 при п со для
любого г Ф 0. Каково соответствующее предельное распределение?
Лемма 3.2.2. Однозначно определенное распределение вероятностей Р с
преобразованием Фурье
Ро = 1, Яг==0, г=1, 2, ... ,
есть нормированная мера Хаара на G.
Доказательство. Для того чтобы убедиться в том, что для меры Хаара РТ = 0
при г Ф 0, достаточно
3.2. Компактные стохастические группы
79
заметить, что элементы Рг можно рассматривать как скалярные произведения
в L2 (G) элементов (g) и функции, тождественно равной единице, т. е.
{Prhj= \ mW(g)P(dg) = (m\T>, 1).
G
Утверждение следует тогда из соотношений ортогональности для функций tn\f
(g).
Если е Е s (Р), то s (Р) не может содержаться ни в каком классе смежности
по какой-либо собственной замкнутой подгруппе. Это приводит нас к
следующему результату.
Лемма 3.2.3. Если s (Р) содержит единичный элемент е, то Рп* сходится к
нормированной мере Хаара на G или на одной из ее замкнутых подгрупп.
Более законченным предельным результатом для компактных стохастических
групп является следующий.
Теорема 3.2.4. Для заданного распределения вероятностей Р предел Рп* при
п -оо существует тогда и только тогда, когда s (Р) не содержится ни в
каком классе смежности ни по какому замкнутому собственному нормальному
делителю группы G. Предел Рп* есть нормированная мера Хаара на G.
Доказательство. Как обычно, предполагается, что G при необходимости
модифицируется в наименьшую замкнутую подгруппу, содержащую s (Р).
Доказательство теоремы в одну сторону аналогично уже проведенному.
Действительно, если предел не существует, то можно показать (например,
представляя РГ в канонической жордановой форме, читатель может
