Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
1 Gc
Так как б может быть взято сколь угодно малым, то отсюда следует наше
утверждение. Можно применить А к функциям х; (g) и xt (g) xj (g).
Обозначим bt = Ax-t и Ьц = = Axixj. Функционал А так важен потому, что,
как мы увидим, инфинитезимальный порождающий оператор {Т(} может быть
выражен через А.
Введем теперь меры, зависящие от параметра t:
r]t (?) = -]- J ср (g)Pt(dg).
Е
Они равномерно ограничены (это следует из того, что
lim-j- С ф (g) Pt (dg) существует) и при /61 интегралы
'4-0 а'
°с
jj /(g) Л; (dg) = -Г К / (g) ф (g) Pt (dg)
сходятся при t ->-0. Таким образом, т), сходятся к некоторой мере т] на
Gc при t ->-0, так что
Hm-y- \ f(g)4>(g)pt(dg)= \ f (g) V (dg)
'40 1 •' •'
&c Gc
для всех / 6 С.
4.2. Однородные процессы на группах Ли 101
Теперь мы можем получить явное представление А Если / 6 g и если
обозначить с -f (е), с; = DJh си = Di}f' то функция
принадлежит С и равна нулю при g - е. Переписываем определение А:
тральные выражения ограничены, и мы можем опустить эти члены, если
согласиться изменить определение Ьц. Следовательно, мы можем написать
Af,---2aiDif+^aijDijf +
+ \ ^jgyU{g)-~f{e)~'ZDif{g)xi(g)]^]{dg),
где коэффициенты ац могут быть выбраны симметричными, аи = ап (это
возможно, поскольку Di}- -D}i может быть выражено линейно через Dv).
Матрица {ац} должна быть также неотрицательно определенной.
Действительно, операторы Tt неотрицательны, и, следовательно, для любой
неотрицательной / (Е % с / (е) = Dtf = 0 мы должны иметь
Выберем теперь такую /, равную [2 z^x, (g)]2>0 в окрестности е, но столь
малую, что величина интеграла пренебрежимо мала. Но тогда квадратичная
форма 2ai.?zi2'j должна быть неотрицательной, чтобы избежать
противоречия. Пусть теперь А есть описанный выше функционал, но
рассматриваемый теперь на С2. Величины а;, ац и tq выбираются так,
Af = А (с -j- 2 c-iXi + 2 caxixJ) Jr Aqh = 2 +
+ 2 счьа + Л(РЛ = 2 Cibi + 2 c4biiл'~
Интегралы
существуют, так как подинте-
С
102
Гл. 4. Стохастические группы Ли
чтобы Nf (е) = Af. Если N есть сужение на С2 инфините-зимального
порождающего оператора некоторой неотрицательной полугруппы T't, то Tt =
T'f, так как оба они приводят к Л на С2. Чтобы проверить последний шаг,
мы используем лемму, которая в нескольких, слегка различных, вариантах
встречается при изучении параболических дифференциальных уравнений. Пусть
/ (/, g) есть непрерывная функция на [0, оо) х Gc, такая, что для любой
пары (t, go), удовлетворяющей условиям
t > 0, f(i, go) = min f (t, g),
8
производная df/dt существует и неотрицательна. Тогда min / (t, g) >min /
(0, g) для всех t (см. замечания 4.2.!). Здесь мы хотим доказать, что
знание А на С2 определяет Ttf для всех t. Достаточно рассмотреть /,
равные константе около со и принадлежащие %. Но тогда так как
/ Е С2 и Tt отображает С' в себя (см. замечания 4.2.2). Теперь мы
интерпретируем / (0, g) как / (g), а / (t, g) как Ttfig). Условия леммы
выполнены:
= / > 0,
Nsr^ "g- (<' g)hM' giG, f>0.
Если теперь Д (/, g) и /2 {t, g) - функции, обладающие этими свойствами,
то их разность /3 = Д - /2 должна удовлетворять указанному выше условию и
/3 (0, g) = 0, g € G, /3 (t, со) =0, t > 0. Но если g0 - точка, в которой
/з (*", g) достигает минимума, то член первого порядка в А обращается в
нуль, а сумма членов второго порядка, так же как и слагаемое с
интегралом, неотрицательна. Но тогда мы должны иметь /3 (t, g) >min /3
(0, g) = 0.
g
Вместе с /3 должно быть решением и - /3, так что - /3 > 0, что приводит
нас к желаемому результату. Следовательно, мы знаем вид
инфинитезимального порождающего оператора N полугруппы Tt на С2, причем N
на С2 определяет полугруппу однозначно. Остается показать, что любое N
описанного выше вида порождает полугруппу Tt вероятностных операторов.
Для этой цели мы используем следующую лемму.
4.2. Однородные процессы на группах Ли ЮЗ
Лемма 4.2.1. Рассмотрим последовательность полугрупп вероятностных
операторов Т\\ п = 1, 2, ... . Предположим, что их инфинитезимальные
порождающие операторы существуют на С2 и обозначаются Mnf = AnLg-i и что
для любого f ? С2 имеем Mnf -*-Mf в метрике С. Для соответствующих г|-мер
предположим, что т]п (со) -> ->г| (со). Тогда Tff сходится при п -> оо
для каждой / ? С к некоторому Ttf, где Tt есть полугруппа вероятностных
операторов, инфинитезимальные порождающие операторы которых существуют на
С2 и совпадают с М.
Доказательство здесь не приводится, так как оно громоздко, хотя и
стандартно (см. замечания 4.2.3).
Пусть теперь М имеет вид
где г| есть конечная мера на Gc - е. Но М - ограниченное преобразование С
в С, и мы знаем из гл. 3, что Tt = = exp (tM), ?> 0, образуют полугруппу
вероятностных операторов, непрерывных в равномерной операторной
топологии, а М - ее инфинитезимальный оператор. Относительно
вероятностной интерпретации этой полугруппы см. разд. 2.3.
Рассмотрим теперь М вида
где т) - по-прежнему конечная мера. Так как функции Xi (h) ограничены, то
