Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
только локально компактны, неприводимые унитарные представления имеют
следующий вид.
3.3. Коммутативные локально компактные группы
87
Они не обязаны больше образовывать счетное множество, но это усложнение
уравновешивается тем фактом, что они одномерны, пТ = 1. Характер у = (g,
у) есть непрерывная комплекснозначная функция на G, удовлетворяющая
равенствам
(g + h, y) = (g, y)-(h, у),
I (g, у)! = i-
Бинарная групповая операция записывается в этом случае как сложение.
Введем двойственную группу Г, состоящую из всех характеров, с
окрестностями нуля вида
{Y 11 1 - (ff. У) 1 < е}
для всех g из компактного множества С и для положительного е, и определим
сложение соотношением
(g, y + b) = (g, y)-(g, б)-
Известно, что Г локально компактна и коммутативна и имеет двойственной
группой группу G. Дискретной группе G соответствует компактная
двойственная группа, а компактная группа G имеет дискретную двойственную
группу. Для любого g Ф 0 существует такое у ? Г, что (g, У) Ф 1-
Для любого Р ? аР (G) определим преобразование Фурье распределения Р как
комплекснозначную функцию на Г:
Р = Р(у) = \ (g. y)P(dg), Y 6 Г.
G
Теорема 3.3.1. На коммутативной локально компактной группе преобразование
Фурье Р обладает следующими свойствами.
а) Р однозначно определено преобразованием Р. б') Пусть
последовательность распределений вероятностей Plt Р2, . . . сходится к Р
? сР (G). Тогда Рп ->- Р.
б") Пусть последовательность распределений вероятностей Ри Р2, . . .
имеет преобразования Фурье Рп (у), сходящиеся к непрерывной функции Р
(у), у ? Г. Тогда Р есть преобразование Фурье некоторого распределения Р,
и имеет место слабая сходимость Рп -"- Р.
88
Гл. 3. Стохастические группы
в) | Р (Y) I < 1 •
/\ л А
Г) Pi * Р о = Р1 ¦ Р2.
д) Р (у) непрерывна.
Доказ ательство. Доказательство утверждений а), б'), в) и г) аналогично
доказательству соответствующих утверждений в разд. 3.2. Будем основывать
доказательство б") на теореме 3.3.2, утверждающей, что функции Рп (у)
являются положительно определенными. Предельная непрерывная функция Р (у)
тогда тоже является положительно определенной и должна быть
преобразованием Фурье некоторого распределения Р ? З'1 (G). Известно (см.
замечания 5.1), что можно аппроксимировать константу 1 равномерно па
любом компактном множестве С непрерывными положительно определенными
функциями р, равными нулю вне компактных множеств, а в 0 принимающими
значение 1. Пусть теперь Рп есть последовательность, L-слабо сходящаяся к
мере Q, Q (G)<1. Нужно показать, что Q (G) = I. Так как функция р
является положительно определенной, то она может быть записана в виде *)
Р (g) = jj (g, Y) И. (dy), где fx. g & (Г),
Г
Следовательно,
J P(g)Pnv{dg)= J Jj (g, y)ii(d\)P"v(dg) =
Г G Г
= J Pnv (y) (1 (dy) J P (у) (1 (dy) = J p (g) P (dg),
Г Г G
и мы имеем
5 Р (g) pnv (dg) -" J p(g)Q (dg).
G G
Возьмем теперь С очень большим и получим Q(G) = Р (G) = = 1. Оставшаяся
часть доказательства б") стандартна.
*) См. теорему 3.3.2. ниже.- Прим. ред.
3.3. Коммутативные локально компактные группы 89
.Легко доказать утверждение д). Действительно, для любого е > 0 можно
выбрать такое компактное множество С, что Р (С) с Е и
\Р(у)-Р(у')1<2е + J J(g, y)-(g, у')\P(dg),
с
где правая часть может быть сделана малой, если у' выбирается в малой
окрестности у.
Важное соотношение между положительно определенными функциями и
преобразованиями Фурье распределений вероятностей дается следующей
знаменитой теоремой, которую мы приводим без доказательства (см.
замечания 3.3).
Теорема 3.3.2. Если р (у) - непрерывная положительно определенная
функция, такая, что р (0) = 1, то она является преобразованием Фурье
некоторой меры fi 6 qP(G),
Р(Y)= J (g> У)p(dg), г
и обратно.
Теперь мы можем перейти к изучению идемпотентных распределений
вероятностей. Предположим, что распределение Р 6 & (G) идемпотентно, Р2*
= Р, и будем, как обычно, предполагать, что G выбирается как наименьшая
замкнутая подгруппа, содержащая s (Р). Если бы преобразование Фурье Р (у)
было постоянным на классах смежности некоторой нетривиальной замкнутой
подгруппы Го CZ Г, т. е.
\(?,V + &)P(dg)=\(g>V)'(g>&)P(dg) =
G G
= S (g, y)P(dg), (Yer, беГо),
G
то тогда бы (g, 6) P (dg) = P (dg) при 6 6 Г0. Следовательно, (g, б) = 1
для g из s (Р), так что этот носитель должен содержаться в аннулирующей
подгруппе {g \ (g, б) = 1 при б 6 Г0}, соответствующей Г0, а это
исключается нашими предположениями. Определяя теперь комплексную
90 Гл. 3. Стохастические группы
меру та, а 6 Г, соотношением та (dg) = (g, а) Р (dg), получаем, что та
(у) = Р (Y + а) Ф "Р (Y). так чт0 та Ф Р, если а ф 0. Выберем теперь
столь большое компактное подмножество С группы G, чтобы Р (С) <С 1 /4.
Рассмотрим открытое подмножество V группы Г:
У = {ч II 1 ~ (g, Y) I <-j - S € с} •
Имеем для a ? V
\\Р-та\\= jj jl-(?, а)|Р(^)<|Р(С) + 2Р(С)<|<1.
G
С другой стороны, || Р - та [| > sup | Р (у) - та (у) | =
Л. Y
= sup \ Р (у) - Р (y + а) | >1 при а ф 0, так как Р при-
