Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
предпочесть рассуждение, использующее норму Рг, см. замечания 3.2^), что
некоторое Рг должно иметь собственное значение К = eia, равное по модулю
единице, так что s (Р) должно было бы содержаться при а = 0 в замкнутой
собственной подгруппе А0 группы G, что исключается. Если а^О (mod 2 я),
то s (Р) CZ goAo = = A0go¦ Введем замкнутое множество В = {g | gA0 =
A0g}.
80
Гл. 3. Стохастические группы
Это- замкнутая подгруппа, содержащая g0A0 и s (Р), так что должно быть В
= G, т. е. А0 есть нормальный делитель.
Для доказательства теоремы в обратную сторону рассмотрим случайный
элемент ут = gig2 ¦ ¦ • гдеgv имеет вид g0m; т - случайный элемент в
замкнутом собственном нормальном делителе N подгруппы G и g0 ? N. В силу
того, что N - нормальный делитель, можно, переставив множители, записать
уп в виде g(tm)kn, где случайные элементы kn принадлежат N. Для /г =1,2,3,
... мы получим элементы в множествах
goN, g\N, g30N, ...,
и интуитивно ясно, что это несовместимо со сходимостью. Полное
доказательство проводится следующим образом. Введем замкнутую
коммутативную подгруппу C={g%\n = = 0, + 1, + 2, . . .}. Множество CN
является замкнутой подгруппой группы G (так как N - нормальный делитель),
и, поскольку s (Р) d CN, должно иметь место равенство CN = G. Введем
гомоморфизму -+gN, отображающий подгруппу С на коммутативную и компактную
группу GIN. Используем теперь характер % на GIN. Мы знаем, что существует
характер % (используется свойство полноты), такой, что 1=1 на N и % = eia
Ф 1 на g0N. Продолжим этот характер на G по формуле k (g) = % (gN), так
что k (g) = х (goN) = eiot для g 6 g0N. Далее имеем преобразование Фурье
\ k(g) P(dg)= ^ k(g)P (dg) = eia,
G в (P)
так как s (P) dgoN. Но мы не можем получить сходимости eian при п ->¦ оо,
так что Рп* не сходится, что противоречит допущению. Доказательство
теоремы закончено (см. замечания 3.2.J).
Легко видеть, что предел Рп*, если он существует, является нормированной
мерой Хаара.
Это делает возможным решение вопросов, относящихся к сходимости на
компактных стохастических группах. Интересен случай, когда s (Р) содержит
единичный элемент,
3.2. Компактные стохастические группы
81
тогда Рп* сходится. Если Р симметрично, то s (Р2*) содержит единичный
элемент, так что Р2п* сходится.
Естественно возникает вопрос, монотонно ли приближается Рп* к некоторому
и Е сР (G) при возрастании п.
Теорема 3.2.5. Введем меру отклонения двух распределений Р и Q друг от
друга:
d(P, Q) = sup IP (E) - Q (E)
в
Если m - такое распределение, что т * Р = т, то d (Р 1 *- ;¦/) d{P й. т).
Доказательство. Имеем
,p<"+i>* ^ p-'*(Ey~1)P(dy),
G
т (Е) -= т [Etf1) Р (dy)
G
и, используя идею, восходящую к Маркову, получаем \Р°1+1)* (Е)-т(Е) |<
J | Р'1* (Еу"1) -
G
- т (Еу-1) | Р (dy) < d (Р1*, т), что доказывает неравенство.
Польза критерия d ограничена. Если, например, Рп сингулярны относительно
т, то 4 = 1 и критерий ничего нам не дает.
Можно сказать кое-что о распределениях т, удовлетворяющих соотношению т *
Р = т. Применим преобразование Фурье к этому равенству и получим тТ (РТ -
I) = 0. Если все матрицы Pr - I при г ф 0 невырожденные, то тт - 0 при г
Ф 0, так что m есть мера Хаара на G. С другой стороны, если для
некоторого г Ф 0 матрица Рт - I имеет собственное значение, равное нулю,
то матрица Рт должна иметь собственное значение, равное единице.
82
Гл. 3. Стохастические группы
Но мы знаем, что это возможно только в вырожденном случае, когда при
распределении Р вся масса сосредоточена на некоторой замкнутой
собственной подгруппе группы G.
Критерий d имеет особенно простую геометрическую интерпретацию для
абсолютно непрерывных распределений. Пусть мы хотим сравнить меру Хаара
|х с Q ? & (G). Положим Q (dg)/\i (dg) = q (g). Тогда
Q(E) - \i(E) = J [<7fe)-l](i(dg),
E
так что
d (Q, |x) sup \Q(E)-\x(E)\='\ [q (g) - 1 ] (x (dg),
где F = {g | q (g) > 1}. Другими словами, отклонение d между Q и jx есть
объем, заключенный между поверхностями функции, тождественно равной
единице, и q (g).
К той же проблеме относится и следующее. Предположим, что Р(Е)>ст(Е), где
т - нормированная мера Хаара на группе, Е - произвольное борелевское
множество и с - константа, 0 < с < 1. Отсюда вытекает, что s (Р) = G и
что производная Радона - Никодима т (dg)/P (dg) существует и ограничена.
Введем меру Q =
- Р - cm = D + (1 - с) т, где D = Р - т. Тогда
Q'** = D',* + (1 -с)пт,
так как D * т = Р * т - т =0. Следовательно, для любого борелевского
множества Е
Ри* (Е) = D''* (Е) + т (Е) - Qn* (Е) + [1 - (1 -с)п]т(Е),
так что
Рп* (Е) - т(Е)> - (\-с)п т(Е)> - (1-с)п.
Взяв дополнительное множество, получим Рп*(Е)-т(Е)<(\- с)п.
3.2. Компактные стохастические группы
83
Этим доказана
Теорема 3.2.6. Если для некоторой константы с, 0 <с < 1,
Р (Е) > cm (Е) для любого борелевского множества Е, то \ Рп* (Е) - т(Е) |
<(1 -с)п (см. замечания 3,2.3).
Можно изучать однородные процессы на G с учетом того, что было сказано в
