Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
PTz= J U (g) zP (dg),
где r = (SB, U (g)) -неприводимое представление, a z ? SB-
Так как U (g) z сильно непрерывна и ограничена, то нетрудно определить
интеграл; его можно понимать как интеграл Бохнера. Заметим, что
преобразование Фурье Рг есть операторнозначная функция, определенная на
множестве всех унитарных неприводимых представлений группы G. Можно
заметить, что вероятностный оператор Tf (g) =
- 5 / (gh) Р (dh), соответствующий регулярному представ-
G
лению f(g)-+Rhf(g) =f(gh), обычно не является неприводимым.
Имеет место следующий основной результат.
5.2. Анализ Фурье
127
Теорема 5.2.
а) Для любого неприводимого унитарного представления г преобразование
Фурье РТ является ограниченным линейным оператором в $?.
б) Если г - идентичное представление, то РТ = I.
в) Если известно Рг для всех неприводимых унитарных представлений г,
то Р однозначно определено.
г) Р1 *Р 2 - Р1 • Р2.
д) Пусть g имеет распределение Р. Обозначим через Р распределение
вероятностей так что Р (Е) = Р (Е~1). Тогда преобразование Фурье
распределения Р является сопряженным (Р)* к Р. В частности,
преобразование Фурье Р является самосопряженным оператором тогда и только
тогда, когда Р есть симметричная мера, Р = Р. Оно является нормальным
оператором тогда и только тогда, когда Р * Р - Р * Р.
е) Пусть дана последовательность распределений вероятностей Р1г Р2, .
. ., слабо сходящаяся к Р ? & (G). Тогда
Л А
имеет место сильная сходимость Рп -+Р.Сдругой стороны, из слабой
сходимости Рп -+Р (с Р ? аР (G)) вытекает слабая сходимость Рп ->- Р.
Доказательство. Справедливость утверждений а), б) и г) очевидна. Для того
чтобы доказать в), предположим, что Pi и Р2 ? сР (Р) и Pi = Р2 для всех
г. Если Р (ё) - произвольная элементарная положительно определенная
функция, то она может быть записана в виде Р (ё) = (<?)> z> 2) с помощью
некоторого неприводимого
представления г ~ ($?, U (g)). Но тогда при Q = - Р2
имеем
\ p(g)Q (dg) = (Piz, z) - (P2z, z) = 0,
G
так что
J Ф (g) Q (dg) = 0
G
для любого тригонометрического полинома ф (g). Отсюда вытекает (см. разд.
5.1), что Q = 0, Pi = Р2.
128 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
Для того чтобы доказать д), рассмотрим
Первую часть утверждения е) проверить нетрудно. Для заданного х 6 3?
имеем
II (Р" -Р)х II2 = II РпХ li2 + II Рх II - 2 Re (Рпх, Рх).
Так как подинтегральная функция непрерывна и ограничена, то
lim (Рпх, Рх) = lim ? (U (g) х, Px)Pn(dg) =
П->со 71->оо J
= ^ (U '(g) x, Px) P (dg) = (Px, Px) = || Px (I2.
G
Так как имеет место слабая сходимость Рп Р, то отсюда вытекает Рп Р и
слабая сходимость Рп * Рп ->-Р * Р (см. замечания 2.2.2). Следовательно,
lim Ц Рпх JI = lim (Рпх, Рпх) = lim (Рп*Рпх, х) =
п-> со п-> со п-усо
= (Р*РХ, X) = (Рх, Рх) = || Рх ||2,
а отсюда вытекает сильная сходимость (Рп - Р) х ->-0.
Вторая часть утверждения е) требует более сложных рассуждений. Так как Рп
(G) = 1 = Р (G), слабая сходимость Рп к Р вытекает из L-слабой
сходимости, т. е. из сходимости в смысле равенства
lim ^ f (g) Рп (dg) = \ f (g) P (dg)
П-> со v y,
Lr (j
для каждой / g L (G). Пусть сначала p (g) есть произвольная (непрерывная)
положительно определенная функция. Как обычно, мы относим ее к некоторому
унитарному представлению {$?, U (g)} : р (g) = (U (g) *, х). Разлагая U
(g) на неприводимые компоненты U6(g), имеем (см. разд. 5.1)
P(g)= \ (U& (g)x6, x6)q(d8),
6 ??>
5.2. Анализ Фурье
129
и по теореме Фубини и в силу ограниченной сходимости ^ Р (g) рп (dg) =
(Рп, 6х6, х6) q (d8) -v
G 6?D
(Р6х6, x6)Q(dd)= р (g) Р (dg).
6?D G
Остается теперь доказать, что это сохраняет силу, если р заменить
произвольной функцией из L (G). Пусть / 6 L. Тогда / может быть
равномерно аппроксимирована на G композициями вида / * е, где е € L (G)
(см. замечания 5.2.4). Но / * е может быть линейно выражена через (/ ± е)
* * (/dh е) и (/ + it) * (/ ± ie). Последние функции вида h * h являются
положительно определенными и непрерывными, что и заканчивает
доказательство.
Идемпотенты описываются аналогично случаям компактных и коммутативных
групп.
Теорема 5.2.1. Р является идемпотентной вероятностной мерой на G тогда и
только тогда, когда она является нормированной мерой Хаара на компактной
подгруппе.
Доказательство. Так как (РТ)г = Рг, то для любого х € Шт имеем PTz = z,
если положить г - Ргх. Но, как и раньше, отсюда вытекает, что Ur (g) г =
г для любого g 6 s (Р). В силу произвольности х отсюда вытекает, что Uг
(g) Рг =РГ в s (Р), так что
s(P)C= П {g\Ur(g)Pr = Pr}.
Г
Множество, стоящее справа, является замкнутой подгруппой группы G. Как
обычно, можно предполагать, что G уже выбрана как наименьшая замкнутая
подгруппа (исходной группы), содержащая s (Р); тогда указанное множество
есть просто G. Рассмотрим теперь вероятностную меру Q, определенную
соотношением Q (Е) = Р (НЕ). Тогда
Qr = I Ur (g) Q (dg) = 5 Ur (g) P (h dg) =
G G
= S Ur (h-'g) P (dg) = Ur (hr1) PT = Pr.
G
130 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
