Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
последовательность случайных элементов группы
gi <§21> <§22 gall <?32) ,§33
gnli gn2i gn3, • • • I gnn
где эти случайные элементы независимы и в пределах п-й строки имеют
одинаковое распределение Рп. Мы уже рассматривали оператор
я
N1 = H(P) = J XN(dk).
-Я
5.3. Предельные теоремы
137
Введем также оператор
Л
Л/2= J k2N(dk).
- Л
Теорема 5.3.1. Предположим, что
1) Я(Р")= J Я(?)Л№) = -~^Я", 11Яп1] = °(4)
G
U
2) ||Л/(П)|| = || 5 H*(g)Pn(dg) || = о(~).
G
Тогда
lim Р"* = б<?о •
71 -у- СО
Доказательство. Преобразование Фурье для имеет вид
(Р"г = ( (g) Рп (dg) У = ( 5 exp [iH fe)] Рп
(dg)J =
G G
=--(Г\-Ш(Рп)-\-Ап)п,
где
Л Л
лп= [ei}--\-il]N (dl)= 5 [COS А,- 1] (dA,) -|-
- Л -Л
Л
-|-t 5 [sin N (dk) = ЛЙ + А'п-
- Л
Так как | cos Л. - 1 | и | sin к - к |<аА2 и так как операторы N (dk)
неотрицательны, то
- aN[n\< А'п < aN[r<\
- аЛ/<"> < Л; < аЛ/<">.
Но отсюда вытекает, что
138 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
Следовательно, ||Л"|| = о (1 In) и
1)]".
где член о (1 /п) заменяет оператор с нормой о (1 /п). При п, стремящемся
к бесконечности,
СРпГ -> ехр [?'Я (g0)] = U (g0) = ЬЙ0, чем и завершается доказательство.
Рассмотрим теперь также оператор
Я
Щ*)= J \l\sN(dl).
- Я
Читатель обратит внимание на то, что эти операторы Nu N2 и т. д. играют
роль обычных моментов в классической теории.
Теорема 5.3.2. Предположим, что случайные элементы имеют среднее значение
е, а распределения вероятностей удовлетворяют условиям
Л
1) N<p= J Ш(^)=4 + о(~),
- Л Я
2) #<"> = J \k\"W(db) = o(-l-) ¦
- Л
Если я ? еР (G) есть распределение вероятностей, для которого я = ехр (-
S/2), то Р"* -"-я.
Доказательство. Так же, как и в предыдущем доказательстве,
Л Л
Pn= J e*N(dk)= J [l+il-^]N(dl) +
-Л -Я
- Я
5.3. Предельные теоремы
139
так что
(Рп)п->ех р( - -§-) = я.
Заметим, что так как S - неотрицательный оператор, то существует такой
самосопряженный оператор В, что S - В2. Тогда я принимает знакомый вид:
ехр (-В912).
В классических предельных теоремах распределения Рпх часто определяются
нормированными случайными величинами bnv (xnv - flnv)- В настоящей весьма
общей ситуации такая нормирующая операция, как умножение на скаляр bnv,
неприменима. В этом состоит основная трудность, которую нужно преодолеть
перед построением окончательной общей теории. Пусть задана
последовательность случайных величин xit х2, х3, ... (для конкретности
будем считать, что хп = gig2 . . ¦ gn задана на стохастической группе),
определенных на некотором пространстве X. Для нормировки распределений
величин х отображаем X на некоторое другое пространство Y с помощью
последовательности функций уп = уп (х), и предельная теорема будет
утверждать, что распределение уп (х) сходится при п ->-оо. Но такая
нормировка может быть произведена множеством различных способов, причем
не все из них имеют для нас одинаковое значение. Предположим, что мы
можем доказать две различные предельные теоремы Xх и Хг с помощью двух
отображений у\ = у\ (х) и угп = у\ (-*¦), причем в первой теореме
предельным распределением у\ (х) при п оо является D1, а во второй
предельным распределением у2п(х) при п-уоо является D2. Если
распределение D1 неатомическое, a D2 имеет по крайней мере один атом,
скажем А, то есть основания отдавать предпочтение предельной теореме Xх
перед теоремой Хг. Действительно, в то время как в предельной теореме X2
некоторая вероятность "собрана" в Л, в теореме Xх она "распределена", так
что можно говорить, что теорема Xх дает более детальную картину, чем Х%.
Другая возможность заключалась бы в том, чтобы считать, что предельная
теорема Xх не хуже другой теоремы X2, если D1 абсолютно непрерывно
относительно D2. Это соглашение сделало бы множество предельных теорем
частично упорядоченным.
140 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
Практический интерес предельной теоремы заключается в получении
аппроксимации вида
Pn(XnESn) = Pn(yneS)^D(S),
где Sn = уй1 (S) и отображение предполагается взаимно однозначным.
В следующем разделе мы рассмотрим другой вид нормировки, не дающий,
вообще говоря, решения поставленной выше задачи, но все же приводящий к
интересным предельным теоремам.
5.4. Предельные теоремы на некоторых полных группах
На действительной прямой, в Rh и в банаховом пространстве нормированные
суммы.
1.1. ,1
--A'l -| -Хп \--Хп И
п 1 п * ' п
1 1 I г 1
У п | п у п
У\ - Ху Ехуу
имеют особенно привлекательные предельные свойства. На общей локально
компактной группе нет операции, соответствующей умножению на скаляр с-х в
линейном векторном пространстве. Это вызывает существенное затруднение,
которое вкратце будет обсуждаться далее в этом разделе.
Рассмотрим группы, в которых однозначно определены корни п-й степени, т.
е. такие, что для любых g 6 G и натурального числа п существует
единственный элемент h ? G, удовлетворяющий уравнению hn = g, он
обозначается h -gl/n. (Такие группы иногда называются полными P-
