Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
В силу теоремы единственности отсюда следует, что Q (Е) = Р (НЕ) = Р (Е);
Р есть нормированная мера Хаара на G, откуда вытекает, что G компактна.
Оставшаяся часть 'доказательства стандартна.
Имеет место следующая простая лемма.
Лемма 5.2.1. Пусть P?&(G). Если существует неприводимое представление г =
($?, U (g)) (отличное от идентичного представления), такое, что Prz =
e,ez для некоторого нетривиального z(z3?, то носитель s (Р) содержится в
классе смежности по собственной замкнутой подгруппе группы G.
Доказательство является повторением доказательства леммы 3.2.1. Нужно
только отметить, что условие леммы формулируется не в терминах нормы
оператора РТ, а в терминах собственных значений (преобразования Рт), по
модулю равных единице. Если мы предполагаем только, что \\Р\\ = 1, то мы
знаем, что существует последовательность векторов 2j, z2, ... Iknll = 1,
такая, что ||Рг"|| 1.
Обозначая рп (g) = (U (g) zn, zn), имеем
I Pzn
'=($ U(g)znP(dg), J U(g)znP №)) =
G G
= (u(S~lfl)zn> zn) P (dg) P (dh) -
G G
= 5 (U(g)zn, Zn)Q(dg)= 5 Pn(g)Q(dg),
G G
где Q = P * P. Так как pn (e) =1 и [ pn (g) | < 1, то мы можем извлечь
подпоследовательность nv, такую, что
P"v(g) = (U(g)z"v, z"v)->-1
почти всюду относительно меры Q, или, что эквивалентно, имеет место почти
всюду сильная сходимость U (g) zn -
- zn -0. Но если эта сходимость имеет место для и g2.
U (gl) гПу - Znv О,
U (gz)zn, ~zn -у О,
5.2. Анализ Фурье
131
то
U (Я21) \U Ы - U Ы1 Znv = U (g^gi) гПу -z"v-> О,
так что мера Q имеет всю массу сосредоточенной на подгруппе
{g\U(g) Znv-z"v->0}.
К сожалению, это не дает большой информации.
Заметим в скобках, что среди однородных процессов на G можно следующим
образом выделить специальный класс, имеющий некоторый интерес.
Теорема 5.2.2. Пусть Pt есть однородный процесс разрывного типа на
локально компактной группе G. Тогда он является сложным пуассоновским
процессом на G.
Доказательство и обозначения аналогичны использованным в разд. 2.3.
Перед тем как перейти к собственно предельным теоремам, сделаем несколько
замечаний относительно сходимости по вероятности для стохастических
(локально компактных) групп. Пусть уп, п = 1,2, ... есть
последовательность случайных элементов, принимающих значения из G.
Предположим, что эта последовательность сходится по вероятности к
некоторому случайному элементу у, т. е. для каждой окрестности N элемента
е и любого е > 0 имеем Р {yn1y?N}> 1-е
для всех п, больших некоторого п0 = п0 (N, е). Тогда, конечно, двойная
последовательность Уп'Ут сходится по вероятности к е. Более существенно
то, что имеет место и обратное утверждение (критерий Коши).
Теорема 5.2.3. Если у~^ут сходится по вероятности к е при пит,
стремящихся к бесконечности, то последовательность уп сходится по
вероятности.
Доказательство. Мы можем действовать, как в случае действительной прямой,
но с необходимыми изменениями. Выберем последовательность положительных
чисел
со
ej, гг, , удовлетворяющую условию 2ev <°°, и
1
132 Г л. 5. Локально компактные стохастические группы
убывающую последовательность jVb N 2, . . . окрестностей элемента е,
такую, что jV* d Nv-i и П Nv = е. Выбе-
V
рем натуральные tiv так, чтобы
Р {Y"vYnv f 1 ? ^^ ^ Kv'
Рассмотрим множества
Sr- П {Y"vYnv-i-1 ^
v=r 1
И
со
s= и
г= 1
Тогда
со со
Р (S*) < 2 Р (Yn1vYnv+1 ели < 2 ev,
V- Г V-г
так что
оо
P(Sr)> 1- 2 evf 1
v=r
при /• ->- оо, откуда Р (5) ~ 1. Но если имеет место событие S, что
происходит почти наверное, то Ynv есть последовательность Коши.
Действительно, если заданы jV и е > О, то можно найти натуральное р
такое, что Nр СИ N и (для v < (г), используя включение CI jVv-i, получаем
Уп\Уп^ = YnvY"v+lY"v-f1 Y"v+2 • ¦ •YnJt-iYnp, €^v^v+l- • ¦
¦ ¦ • A^-i С Avi CZNpc:N
для всех v, (г > p. Каждая локально компактная топологическая группа
является полной, так что существует такой элемент y (см. замечания
5.2.!), что Ynv->-Y- Но так как Ynv сходится по вероятности к y при п сю
и так как y"*Y = = Yn1YnvYn^Y> т0 из Y^Yn -^~е вытекает, что сходится по
вероятности к Y-
Заметим, что попутно мы установили существование подпоследовательности,
сходящейся почти наверное.
Пусть теперь glt g2, ... -независимые случайные элементы группы G. Мы не
предполагаем, что они имеют одина-
5.2. Анализ Фурье
133
ковое распределение. Образуем произведение уп = g4 g2 . . ¦ . . . gn.
Было бы удобно иметь аналитический критерий для сходимости таких
произведений.
Теорема 5.2.4. Произведения уп = g2 . . . gn сходятся по вероятности при
п -"-оо, если для всех неприводимых представлений имеет место неравенство
ОО
2 \\Рп - I \\< со, п- 1
где Рп - преобразование Фурье для gn.
Доказательство. Записывая Рп = I + А", рассматриваем преобразование Фурье
Qn,m случайного элемента gn+ign+2 ¦ . . gm группы
ТП
Qn,mz~ Рп+\Рп+2' - 'Рт~ Ц (J 1 ^v) "
n-J-1
т
- I -|- 2 4~ 2 AvAn
v=n+1 n-f1
Обозначая dn = ||AJ|, имеем
mm m
\\Qn,m - I\\<y} ^v + 4( 2 ^У + -Т( 2^)3+-- =
Tl-j- l 71-}-1 n-J-1
