Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
m
= exp (^2 - 1-
n-(-l
m
В силу предположения теоремы 2 стремится к нулю
n-j-1
при п-+оо и Qn, m стремится ! к I - преобразованию Фурье для бе. Так как
уй1,Ym = gn+ign+2 • • • gm стремится по вероятности к е при п и т,
стремящихся к бесконечности, мы можем применить теорему 5.2.3 и получить
утверждение теоремы 5.2.4 (см. замечания 5.2.2).
Еще одно замечание по поводу произведений независимых элементов группы.
Рассматриваются различные способы сходимости: слабая сходимость
распределений вероят-
134 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
ностей, сходимость по вероятности, сходимость почти наверное и т. д. На
действительной прямой хорошо известны логические связи между различными
типами сходимости, и многие из них лишь с небольшими изменениями
переносятся на общие локально компактные и сепарабельные группы. Однако
нужно отметить, что это не всегда так. Например,
СО
известно (см. замечания 5.2.3), что для ряда 2 хп независи-
1
мых случайных величин хп, принимающих действительные значения, сходимость
почти наверное эквивалентна сходимости распределений частичных сумм.
Пусть теперь G есть компактная группа, a gi - случайный элемент,
распределенный соответственно нормированной мере Хаара, и g2, gs, ¦ ¦ ¦-
такая последовательность независимых
СО
случайных элементов группы, что не сходится почти
2
наверное. Тогда распределение частичных произведений
СО
П gv есть нормированная мера Хаара, в то время как сами 1
частичные произведения не сходятся почти наверное.
5.3. Предельные теоремы на локально компактных стохастических группах
В этом разделе мы получим некоторые предельные теоремы для композиций на
локально компактных группах (см. также начало гл. 3). Мы убеждены, что
использованные методы могут быть применены в значительно более общих
ситуациях и что они могут привести к большому числу полезных предельных
теорем.
Для заданного элемента g ? G унитарный оператор U (g), соответствующий
некоторому неприводимому унитарному представлению ($?, U (g)), может быть
записан (см. замечания 5.3.j) в виде
Я
U(g)= 5 e*dEg(k),
-я
где Eg (к) - разложение единицы (см. замечания). Если U (g) задано, то
это разложение определяется единствен-
5.3. Предельные теоремы
135
ным образом. Вводя самосопряженный оператор
[л
Н (g) - 5 kdEg(k)
- Я
ограниченной нормы, ||//(g)||<n, можно представить U (g) в виде U (g) =
exp [iH (g)]. Заметим, что из-за отсутствия коммутативности мы не можем
утверждать, что Н {gi gz) = Н (gi) + Н (g2). Но из теории возмущений
известно, что так как U (g) непрерывно, то Eg (к) г непрерывно зависит от
g, за исключением, быть может, скачков Eg (к). Отсюда вытекает, что
функция Н (g) сильно непрерывна на G. Можно было ввести семейство
операторов по-другому:
N(k)=\ Eg(k)P(dg).
G
Заметим, что N (X) уже не обязательно является разложением единицы, но,
во всяком случае, не убывает по к в смысле обычного частичного
упорядочения линейных операторов в гильбертовом пространстве (см.
замечания 5.3.3). Оператор Н (Р), определяемый ниже, можно записать в
виде
Я
Н(Р)= J kN(dk).
- Я
Для любого распределения вероятностей Р можно образовать самосопряженный
оператор Н (Р), определенный соотношением
H(P)z= \H(g)zPSdg), а
с правой частью, понимаемой, скажем, как интеграл Бохнера (см. замечания
5.3.2), и с нормой, не превосходящей л. Этот оператор играет роль,
аналогичную обычному среднему значению на действительной прямой (или на
Rk, или на другом линейном векторном пространстве), однако эта аналогия
не распространяется слишком далеко из-за отсутствия скалярного умножения
и свойства_коммутативности. Как бы то ни было, a priori представляется
разумным введение понятия среднего значения с помощью следующего
136 Гл. 5. Локально компактные стохастические группы
предварительного определения, которое будет в дальнейшем изменено. Пусть
дана вероятностная мера Р ? еР (G) на локально компактной группе G.
Говорят, что элемент g g G есть среднее значение меры Р на G, если
H(g) = H(P)=^H(g)P(dg)
G
для каждого неприводимого унитарного представления.
Единственность этого определения ясна, так как если Н (gi) = Н (Р) =н (Ы>
то U Ы = U (gz) Для каждого (Зв, U (g)), откуда, как известно, следует,
что gi = gz-Существование среднего значения не обеспечено. Стоит
заметить, что мы выражали U как exp (iH) с ограниченным Н. Однако
существуют ситуации, в которых естественно работать с представлениями с
неограниченными Я. Тогда, конечно, интеграл, определяющий Н (Р), требует
более осторожного подхода и понадобится в какой-то форме условие
интегрируемости на Р. Мы вернемся к этому вопросу в следующем разделе.
Читателю будет полезно сравнить это с простым случаем G = Rh.
Если Р симметрично, то Н (Р) = 0, так как Н (g~г) = = -Н (g) и g = е.
Это понятие среднего значения в действительности не имеет практического
интереса, но может быть модифицировано, и мы выскажем теорему 5.3.1 в
других, хотя и похожих, терминах. Рассмотрим треугольную
