Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
мы знаем относительно теории вероятностей в банаховых пространствах.
Важный частный случай представляют собой квадратные матрицы порядка k.
Ферстенберг и Кестен [1] показали, что предел
lim - Е log || ... Мп\\
п-юо П
существует и что, если он конечен, то равен пределу lim - log || MiM2 . .
. Мп ||,
?г-> со п
существующему почти наверное. Норма здесь определяется как обычно:
|| УИ || = шах 2 I ти |> М = {ти].
* i
Кроме того, при более сильных ограничениях они вывели асимптотическое
распределение элементов log т(tm), Nn = {tnfj} = М±М2 ¦ ¦ ¦ Мп. Хотя эти
результаты весьма специальны, они заслуживают серьезного внимания как
стимулирующие дальнейшую работу.
В этой связи заслуживает упоминания вероятностный функциональный анализ,
скажем, изучение стохастических функциональных уравнений, их итерационных
решений и т. п. Подобные проблемы изучались Шпачеком, Ганшем, Бхаруча-
Ридом и некоторыми другими авторами.
Теперь, после того как мы сделали беглый обзор теории и мотивов ее
развития, мы можем приступить к детальному изложению.
Глава 2 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ
2.1. Общие замечания
Вероятностные меры, рассматриваемые в этой книге, будут иметь своей
областью определения сепарабельное топологическое хаусдорфово
пространство 5 (определение сепарабельности см. в замечаниях 2.1).
Вероятностная мера Р определяется на множествах, принадлежащих а-алгебре
образованной всеми открытыми множествами из S (см. замечания 2.1.,).
Иногда мы будем также использовать неограниченные меры т (т (S) не
конечна); в некоторых из следующих далее утверждений это подразумевается.
Мы будем использовать терминологию, известную из теории вероятностей и
теории конечномерных евклидовых пространств, часть понятий
непосредственно переносится на наш случай. Два случайных элемента из 5
называются независимыми, если их совместное распределение на S х S есть
произведение мер; аналогично определение независимости для нескольких
случайных элементов. Распределение вероятностей Р называется непрерывным,
если Р [s] = О для любого множества {s}, состоящего из единственного
элемента s. Оно называется дискретным, если вся распределенная масса
сосредоточена на элементах sb s2, ... с точечными массами рь р2, . . .,
рп, . . . >0,
СО
^ рп =1. Будем говорить, что Р абсолютно непрерывно 1
относительно заданной a-конечной меры, если Р(Е)- ^ p(s)m(ds) для всех
Е
р (s) называется плотностью распределения Р.
Большое внимание будет уделяться локально компактным пространствам. Мы
рассматриваем борелевские меры,
38
Гл. 2. Стохастические полугруппы
определенные на сг-алгебре, порожденной всеми компактными множествами.
Удобно предполагать (и это не будет очень сильным ограничением), что
вероятностная мера регулярна, т. е.
Р (Е) - inf Р(0), где О - открытое множество, содержащее/:, и
Р (Е) = sup Р (С), где С - компактное множество, содержащееся в Е.
В настоящем контексте предположение регулярности выполнено автоматически,
как указано в замечаниях 2.1.!. Следует заметить, что в несепарабельном
случае это уже не так.
Если распределенная в соответствии с нашей вероятностной мерой масса не
выходит за пределы некоторой части пространства S, то мы можем
рассматривать только эту часть, выбирая ее настолько малой, насколько это
возможно. Для этого служит понятие носителя s (Р) меры Р. Из возможных
определений носителя мы выбираем следующее: s (Р) определяется как
множество тех точек s, каждая окрестность которых имеет положительную
меру. Носитель есть замкнутое подмножество пространства S.
Для меры т описанного типа (борелевской, регулярной) можно образовать
интеграл
f(s)m(ds)
s
по крайней мере для некоторых действительных функций / (s). Он, конечно,
определен для / 6 L (S), где L (S) - множество всех непрерывных
действительных функций, каждая из которых обращается в нуль вне
некоторого компактного множества. I (/) есть линейный функционал на L
(S); кроме того, это положительный функционал: / (/)> 0, если / ? L+ (S),
где L+ (S) - множество неотрицательных функций, принадлежащих L (S). Это
утверждение может быть обращено. Если заданный функционал / (/),
определенный HaL (S), обладает этими свойствами, то существует однозначно
определенная (регулярная) борелевская мера т, такая, что имеет место
написанное выше интегральное представление (см. замечания 2.1.2).
2.1. Общие замечания
39
Теперь введем норму
II f II = sup I f (s) I
s?S
на множестве всех непрерывных комплекснозначных функций / (s),
обращающихся в нуль на бесконечности. Ограниченные линейные функционалы
получающегося банахова пространства La(S) могут быть представлены в виде
М- \ f(s)li(ds),
s
где - (регулярная) комплексная мера, а норма ||ц|| функционала задается
полной (абсолютной) вариацией меры (л (см. замечания 2.1.2).
При отыскании предельных теорем нужно специфицировать тип сходимости
распределений вероятности. Два главных типа - это L-слабая х) и слабая
сходимости (терминология в литературе не установилась).
