Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
= s (Р), откуда следует, что s (Р) есть подполугруппа с единицей. Будучи
носителем, она автоматически замкнута. Обратно, если Е обладает
указанными свойствами, то мы можем определить распределение вероятностей
Q с s (Q) = Е (можно выбрать счетное подмножество из Q, всюду плотное в
Q, и приписать положительные
2.3. Компактные стохастические полугруппы 53
вероятности каждому элементу этого подмножества). Образуем Р = exp* (Q -
де). Сразу видно, что s (Qv*) = = s (Q) = E и s (P) = E. Это предложение
не имеет места для произвольного безгранично делимого распределения.
Сделаем теперь еще один шаг в направлении дальнейшей специализации и
предположим, что S есть конечная и коммутативная стохастическая
полугруппа с элементами Sj, s2, . . . , sn. Тогда распределение
вероятностей Р на 5 характеризуется дискретными вероятностями ри р2, . .
.
. . Рп, 2pv 1. Будем также предполагать, что существует такое натуральное
т, что sm+1 = s для всех s (см. замечания 2.3.7).
Хотя этот случай и может показаться слишком специальным, мы уделяем ему
внимание, поскольку здесь мы впервые встречаемся с гармоническим анализом
(анализом Фурье) - наиболее мощным аналитическим инструментом,
используемым при изучении вероятностных предельных законов на общих
структурах.
Определение 2.3.1. Комплекснозначная функция a (s) ф 0 называется
полухарактером, если о (s) о (t) = = а (st) для всех s, t ? S. Множество
всех полу характеров обозначается 2.
Число п элементов в 2 равно числу элементов в 5. Множество 2 является
полугруппой тогда и только тогда, когда полугруппа S имеет единицу, что
мы и будем предполагать. Все п полухарактеров линейно независимы.
О п р'е деление 2.3.2. Преобразованием Фурье Р (а) распределения Р мы
называем определенную на 2 функцию
П
Р (ст) = Еа (s) = 2 Pv<7(sv).
v=l
Теорема 2.3.7. а) Распределение Р однозначно определяется преобразованием
Р по формуле обращения
Pv - 2 р (pi) A/vj j
где - коэффициенты, не зависящие от Р (теорема единственности).
54
Гл. 2. Стохастические полугруппы
б) Pv Р тогда и только тогда, когда Pv Р (теорема непрерывности).
в) (Pj * Р2) = Р1Р2' композиции соответствует произведение
преобразований Фурье.
г) Функция f (ст) может быть представлена в виде преобразования Фурье
Р некоторого распределения вероятностей на S тогда и то лько тогда, когда
она является положительно определенной:
2 л С0СФ/ (mji) > 0 и /( 1) = 1,
<т, i|)?S
где 1 обозначает полухарактер, тождественно равный единице.
Доказательство, а) Так как полухарактеры линейно независимы, то
определитель det (oj (sv)) не равен нулю и система п линейных однородных
уравнений
П
Р (°j) = 2 PM (Я)
1
может быть решена относительно pv.
б) В одну сторону это утверждение очевидно, в другую оно вытекает из
формулы обращения.
/\ 71
в) (Pi*P2) = 2 (SvSn) =
V, 1-1=1
П П
= 2 (sv) 2 Рча Ы = Pi (a) P2 M.
V=1 |1=1
г) Если / (cr) есть преобразование Фурье распределения Р, то / (1) = 2
Р\' 1 = 1 и
V
2 C0Ctyf = 2 CgC^PyO (sv) ^ (sv) =
с, -ф a, v
= 2pv|2ot(sv)|2>o. (1)
v а
С другой стороны, если / (а) - произвольная комплекснозначная функция на
2, то она может быть представлена в виде преобразования Фурье некоторой
комплекснозначной
2.3. Компактные стохастические полугруппы 55
(не обязательно неотрицательной) функции, определенной на 5, скажем со
значениями sv = qv. Выбирая С так, чтобы
I 0, если v Ф fi,,
мы видим, что задается соотношением (1) и неотрицательно. Кроме того, 2
Pv =/ (1) = 1.
v
Основной результат, относящийся к предельным законам на коммутативной
конечной стохастической полугруппе, заключается в следующем.
Теорема 2.3.8. Пусть i - идемпотент в S, такой, что ism (Р) d Si = {s| sm
= i}. Обозначим через Бг полугруппу, порожденную is(tm) (Р).
Последовательность Рп* имеет предел тогда и только тогда, когда is (Р)
имеет общий элемент с 2г при любом i, определенном выше.
Укажем только основную идею доказательства. Из того, что было сказано
выше, ясно, что последовательность Рп* не сходится только тогда, когда Р
(<т)= е|0для некоторого <т, где 0-действительное число, такое, что
0^=Omod2jt. Но тогда
1 = | Р (а) [ < 2 Pv | or (sv) [ = 2 Pv = 1,
V V
и, следовательно, "a (sv) = eie для всех sv ? s (Р). Можно убедиться
(см. замечания 2.3.7), что это эквивалентно условию теоремы. С таким же
рассуждением мы встретимся позднее при изучении стохастических групп, и
тогда мы сообщим большие подробности, относящиеся к доказательствам.
Конечные стохастические полугруппы (коммутативные или нет) моГут быть с
успехом изучены с точки зрения конечных марковских цепей. Переходные
вероятности задаются соотношением
Pij - 2 Pv,
sisv=sj
где суммирование ведется по всем v, для которых s;sv = Sj, и можно
применить результаты теории цепей Маркова.
56
Гл. 2. Стохастические полугруппы
Мы знаем, например, что если существуют натуральное k и индекс /, такие,
что р^ > 0 для всех г, то последовательность Рп* сходится к предельному
распределению. Если, кроме того, S - группа, то
